(UERJ 2019) Seis times de futebol disputaram um torneio no qual cada time jogou apenas uma vez contra cada adversário. A regra de pontuação consistia em marcar 0 ponto para o time perdedor, 3 pontos para o vencedor e, no caso de empate, 1 ponto para cada time. A tabela mostra a pontuação final do torneio.


O número de empates nesse torneio foi igual a: 

(A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 7

Solução: questão interessante do Vestibular UERJ 2019 sobre sistemas de pontuação em competições.  O tema vem sendo recorrente nos últimos vestibulares, conforme os exemplos de questões a seguir:


O que precisamos fazer é modelar o problema com equações e resolver um sistema linear.  Vamos fazer isso passo a passo e com comentários.

Em primeiro lugar, vamos somar o total de pontos obtidos pelos seis times:  9 + 6 + 4 + 2 + 6 + 13 = 40 pontos no total.  Usaremos esse número lá na frente.

Além disso, temos um total de 6 times, então cada rodada de jogos é composta por 6/2 = 3 partidas e temos um total de 6-1 = 5 rodadas.

O número total de jogos desse torneio é 3 x 5 = 15 jogos.

**  Caso você não esteja familiarizado com o conceito de rodada, muito comum em torneios de futebol e outros esportes, a seguir detalharemos um pouco mais.

Uma rodada é um determinado momento onde todos os times do torneio se enfrentam mutuamente, por exemplo, a rodada 1 poderia conter os seguintes jogos:

A x B
C x D 
E x F

Ou seja, a rodada sempre terá (número de participantes / 2 ) jogos que no nosso caso são três jogos.  Essa quantidade de rodadas será igual a (número de participantes - 1), isto porque um time nunca irá jogar contra ele mesmo.  O time A, por exemplo, só joga contra os outros cinco times restantes B, C, D, E, F.


Uma outra forma de encontrarmos esse total de 15 jogos é por meio de análise combinatória, onde podemos fazer uma combinação de 6 em 2. 

C 6,2 = 6! / (2! (6-2)!) = (6 . 5 . 4!) / (2 . 4!) =  30/2 = 15 jogos.



Então, temos neste torneio um total de 15 jogos.  Porém, temos que atentar para o seguinte, existem duas possibilidades diferentes em cada partida:

Ou "há um vitorioso" ou "há empate".

Vamos dizer que existirá neste torneio X vitórias e Y empates.  De modo que X + Y = 15, pois o torneio tem 15 jogos.

Além disso, sabemos que quando há vitória, 3 pontos são distribuídos (3 ao vitorioso e 0 para o perdedor).  Quando há empate, 2 pontos são distribuídos (um para cada time).  Então, vamos equacionar isso da seguinte forma.

3.X + 2.Y = quantidade de pontos distribuídos ao final do torneio.

3.X + 2.Y = 40  (total de pontos que somamos lá em cima)

Agora nós temos um sistema de 2 equações e 2 incógnitas, são elas:

X + Y = 15
3.X + 2.Y = 40

Isolando Y = 15 - X  na primeira equação e aplicando na segunda, teremos:

3.X + 2.Y = 40
3.X + 2.(15 - X) = 40
3.X + 30 - 2.X = 40
X = 10   

Y = 15-10 
Y= 5

Como o nosso Y representa a quantidade de partidas que terminaram empatadas, então a alternativa correta é a letra b).

Curiosidade: depois que você se acostuma com a lógica da competição, você pode fazer um raciocínio mais direto.

15 jogos todos com vitórias, total de 15 x 3 = 45 pontos distribuídos.

15 jogos todos com empates, total de 15 x 2 = 30 pontos distribuídos.  Repare que cada empate ocasiona uma perda de 1 ponto na distribuição de pontos da competição.

Se o total de pontos distribuídos foi de 40 pontos, é porque foram "perdidos" 5 pontos ao longo das 15 partidas e isso só seria possível com 5 empates e 10 vitórias.

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões anteriores da UERJ.

Um forte abraço e bons estudos.