(Professor Docente I - Matemática - SEEDUC-RJ - 2011 - Banca CEPERJ) O valor máximo da função f(x) = a (x - 1)(x - 9) é igual a 80.  O valor do coeficiente a é:

a) -5
b) -4
c) -8
d) -2
e) -6

Solução: questão do concurso para Professor de Matemática da Secretaria de Educação do Rio de Janeiro.  Banca organizadora CEPERJ, 2011.

Inicialmente, repare que f(x) é a função de uma parábola. Essa questão é um problema de maximização, onde utilizaremos a fórmula das coordenadas do vértice da parábola (Xv, Yv).   Pontos de Máximo ( ou de mínimo) em uma parábola, estão exatamente no vértice da parábola, cuja fórmula é:

Xv = -b/2a ;
Yv = -Δ/4a  ;  Δ = b² - 4ac

Nesta questão, precisaremos só da fórmula do Yv.

Vamos desenvolver a f(x) = a (x - 1)(x - 9)

f(x) = a (x² - 9x  - x + 9 ) 
f(x) = a (x² - 10x  + 9 ) 
f(x) = a x² - 10ax  + 9a

O enunciado diz que o valor máximo de f(x) vale 80, isto quer dizer que Yv = 80.

Curiosidade:  se f(x) tem um valor máximo, então esta parábola tem concavidade voltada para baixo (formato de ∩) e seu coeficiente "a" é negativo, note que todas as opções de resposta são negativas.


 Yv = -(b² - 4ac)/4a  = 80
-( (-10a)² - 4 (a)(9a) ) / 4a = 80
-(100a² - 36a²) / 4a = 80
-64a²/4a = 80
-16a = 80
a = - 5

Alternativa correta é a letra a).

Aproveite e continue praticando com uma Lista de Exercícios Resolvidos sobre Coordenadas do Vértice da Parábola - Problemas de Maximização (e minimização).

Um forte abraço e bons estudos.