(Professor de Educação Básica II - Matemática - Prefeitura de Itatiba SP - Banca: Avança SP) Se um polígono regular possui 405 diagonais, pode-se afirmar que ele apresenta ____ lados:

(A) 15.

(B) 28.

(C) 30.

(D) 35.

(E) 60. 

Solução: questão interessante que nos traz a seguinte indagação:  como calcular a quantidade de lados de um polígono regular, sabendo a quantidade de suas diagonais?   Ou também, como calcular a quantidade de diagonais de um polígono regular, sabendo a quantidade de seus lados? 

A fórmula a seguir nos ajudará no cálculo do número de diagonais (d) de um polígono convexo com (n) lados, e vice-versa.

d = n * (n-3)
           2

Aplicando os valores do problema nesta fórmula, temos:

405 = (n² - 3n)/2
810 = n² - 3n
n² - 3n - 810 = 0

Podemos resolver essa equação do segundo grau usando a Fórmula de Bhaskara.

n = [  - b ± √Δ ] / 2a    onde      △ =  b² - 4ac

△ =  (-3)² - 4 . 1 . -810
△ =  9 + 3240
△ =  3249
√Δ = 57

n = [  3 ± 57 ] / 2

n1 = 60 / 2 = 30
n2 = -54 / 2 = -27  (descartamos, pois n não pode ser negativo)

Solução: n = 30.

Alternativa correta é a letra c).

Um outro método de resolução:  como n é um número natural e temos alternativas de resposta,  então podemos resolver da seguinte maneira:

405 = n * (n-3)
               2

810 = n * (n-3)

A partir daqui, basta analisar cada opção de resposta:

(A) 15 x 12 = 180   (Falsa)

(B) 28 x 25 = 700   (Falsa)

(C) 30 x 27 = 810  (Verdadeira)


>> Aproveite e confira lista de exercícios da Fórmula de Bhaskara.

Um forte abraço e bons estudos.