(UERJ 2021) Em uma reunião, trabalhadores de uma indústria decidiram fundar um sindicato com uma diretoria escolhida entre todos os presentes e composta por um presidente, um vice-presidente e um secretário. O número total de possibilidades de composição dessa diretoria é trinta vezes o número de pessoas presentes nessa reunião. 

O número de trabalhadores presentes é: 

(A) 13 (B) 11 (C) 9 (D) 7

Solução: questão interessante de análise combinatória do Vestibular UERJ 2021 que envolve também operações com números naturais.  Seja x o número de trabalhadores presentes, temos que o número total de possibilidades será dado por:

x . ( x - 1 )  . ( x - 2)

Além disso, sabemos que este valor é igual a 30 . x

x . ( x - 1 )  . ( x - 2) = 30 . x
( x - 1 ) . ( x - 2) = 30

Podemos encontrar x desenvolvendo essa equação do segundo grau e aplicando Bhaskara, entretanto, como x é um número natural, o caminho mais ágil será decompor 30 em um produto de números primos.

30 = 2 . 3 . 5 = 6 . 5    então, temos:

x-1 = 6   ( x=7 )
x-2 = 5   ( x=7 ) 

Fazendo essa decomposição, fica nítido que x tem que valer 7, repare só:

( 7 - 1 ) . ( 7 - 2 ) = 6 . 5 = 30

Portanto, x = 7.  Alternativa correta é a letra d).

Uma prova real bem simples.  Com 7 pessoas presentes, o total de possibilidades fica sendo:

7 x 6 x 5 = 210 possibilidades.

E temos também que 210 / 7 = 30 vezes.  (tudo ok!)   

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões de matemática da UERJ.

Um forte abraço e bons estudos.