(UFPR 2021) Considere o cubo de aresta 2 cm na figura ao lado, em que os pontos P e Q são vértices do cubo e N é o centro de uma das faces. Duas partículas A e B se deslocam sobre a superfície do cubo, percorrendo o caminho mais curto possível. A partícula A inicia sua trajetória em P e encerra em Q, e a partícula B vai do ponto P ao ponto N e em seguida ao ponto Q. Qual é a diferença em módulo, em cm, entre as distâncias percorridas pelas duas partículas?

a) 6 + √2 - √5.

b) 2 + 2√2 - 2√5.

c) 4 + √2.

d) 4 + 2√2.

e) √2 + √10 - 2√5.


Solução: questão muito interessante do Vestibular UFPR 2021 sobre geometria espacial (sólido geométrico cubo) onde utilizaremos noções de planificação da superfície lateral e o Teorema de Pitágoras na resolução.   Primeiramente, precisamos saber o seguinte, repare na figura a seguir:



Quando queremos ir de A até B, o caminho mais curto possível é o caminho em azul.  Essa noção será importante na resolução desse problema.  Se optarmos por andar de A até C, e depois de C até B, não estaremos no caminho mais curto.  Temos que tomar, sempre que permitido, a "diagonal".

Agora, vamos planificar as faces necessárias desse cubo para resolvermos essa questão.  Só precisamos planificar as faces 1 e 2 identificadas na figura a seguir:



Agora, vamos escrever as trajetórias A e B, conforme o enunciado para obtermos suas medidas.  Vamos marcar A com cor vermelha e B com cor azul.



Essas são as trajetórias das partículas A e B.  Finalmente, vamos marcar as medidas informadas no enunciado para obtermos as distâncias A e B.


Vamos iniciar os cálculos pela trajetória A que vale o segmento PQ, aplicando o Teorema de Pitágoras:

PQ² = 4² + 2²
PQ² = 16 + 4
PQ² = 20
PQ = √20 
PQ = 2√5

A = 2√5

No cálculo da trajetória B, teremos que somar dois caminhos, são eles:  PN + NQ.

PN² = 1² + 1 ²
PN² = 2
PN = √2

NQ² = 3² + 1²
NQ² = 10
NQ = √10

B = √2 + √10

A diferença em módulo e em cm fica sendo (√2 + √10 ) - 2√5.   Alternativa correta é a letra e).

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões de matemática da UFPR.

Um forte abraço e bons estudos.