(EEAR CFS 2/2021) Dados os polinômios P(x) = x² + ax - 3b e Q(x) = -x³ + 2ax - b, ambos divisíveis por (x-1), então a soma a+b é: 

a) 1/3 b) 2/3 c) 3/4 d) 7/5


Solução: questão de matemática da EEAR (Escola de Especialistas da Aeronáutica) do Exame de Admissão ao CFS 2/2021. Prova aplicada no dia 22/11/2020.

Nesta questão sobre polinômios, já que os dois são divisíveis por (x-1), então isto quer dizer que o resto da divisão deles por (x-1) é igual a 0.  Sendo assim, nós podemos dividir os dois polinômios por (x-1) e encontraremos valores para o resto, depois igualamos estes valores a 0 e isto nos fornecerá os valores de a e b.  Entretanto, vamos utilizar outra estratégia, vamos utilizar o teorema do resto.

Quando dividimos P(x) por um binômio da forma ax+b, temos que:

P ( raiz do binômio ) = Resto da divisão de P(x) por ax+b

Calculando a raiz de (x-1)

x-1 = 0
x = 1

Como sabemos que o resto da divisão de P(x) e Q(x) por (x-1) é igual a zero, então:

P(1) = 0  e Q(1) = 0

Resumindo: agora sabemos que o cálculo de P(1) nos dará o resto da divisão de P(x) por (x-1) e este valor tem que ser 0, pois P(x) é divisível por (x-1).  A mesma coisa é válida para Q(1).  Vamos aos cálculos:

>> P(1) = 0 = 1² + a.1 - 3b
0 = 1 + a - 3b
a - 3b = -1  [equação I]

>> Q(1) = 0 = -1³ + 2.a.1 - b
0 = -1 + 2a - b
2a - b = 1  [equação II]

Agora, vamos resolver um sistema de equações lineares.  Vamos multiplicar a equação I por (-2) e somar com a equação II.

-2a + 6b = 2  [equação I multiplicada por (-2)]
2a - b = 1      [equação II]

Somamos I e II:

5b = 3
b = 3/5

Vamos obter o valor de a aplicando o valor (b=3/5) na equação II.

2a - 3/5 = 1 
2a = 5/5 + 3/5 
2a = 8/5
a = 4/5

A soma a+b é igual a 4/5 + 3/5 = 7/5.
 
Alternativa correta é a letra d).

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões anteriores da EEAR.

Um forte abraço e bons estudos.