(EEAR CFS 2/2021) Um poliedro convexo possui 20 faces, das quais 7 são pentagonais e 13 triangulares. Dessa forma, é correto afirmar que 

a) o número de arestas é 39.
b) o número de arestas é 74.
c) o número de vértices é 19.
d) o número de vértices é 23.

Solução: questão de matemática da EEAR (Escola de Especialistas da Aeronáutica) do Exame de Admissão ao CFS 2/2021. Prova aplicada no dia 22/11/2020.

Para resolver essa questão, vamos utilizar a relação de Euler para poliedros convexos que relaciona o número de suas faces (F), arestas (A) e vértices (V) por meio da fórmula:

V + F = A + 2

Do enunciado, temos que F = 20.

Além disso, 7 faces são pentagonais e 13 são triangulares.  Logo temos que a quantidade de arestas vale:

A = (7 x 5 + 13 x 3)/2

Atenção:  dividimos por 2, uma vez que as arestas estão sendo contadas duas vezes.  Basta pensar no exemplo do cubo, ele tem 6 faces quadradas, então são (6 x 4)/2 = 12 arestas.  O cubo tem 12 arestas e não 24.  Você pode repetir este teste com uma pirâmide de base quadrada. Recomendamos estes poliedros, pois são fáceis de se fazer uma verificação, caso haja dúvidas.  Essa pirâmide tem uma face quadrada na  sua base e outras quatro faces triangulares:  (1 x 4 + 4 x 3)/2 = 8 arestas. 

Continuando.....

A = (35 + 39)/2
A = 74/2
A = 37

Finalmente, vamos aplicar F = 20 e A = 37 na fórmula V + F = A + 2

V + 20 = 37 + 2
V = 39 - 20
V = 19
  
Alternativa correta é a letra c).

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões anteriores da EEAR.

Um forte abraço e bons estudos.