(EsPCEx 2021) Calculando-se o volume de uma esfera circunscrita a um cone equilátero cujo raio da base mede √3 cm, obtém-se 

[A] 8π/3 cm³ . [B] 4π/3 cm³ . [C] 16π/3 cm³ . [D] 64π/3 cm³ . [E] 32π/3 cm³ .

Solução: questão de matemática da EsPCEx (Concurso de Admissão à Escola Preparatória de Cadetes do Exército – 2021). Prova aplicada no dia 26/09/2021.

Para resolvermos esta questão de geometria espacial que aborda o tema inscrição e circunscrição de sólidos geométricos, em primeiro lugar, devemos ter em mente que um cone equilátero é aquele na qual a sua geratriz vale duas vezes o seu raio, sendo assim, a sua vista frontal será a de um triângulo equilátero.  Como temos uma esfera circunscrita a este cone equilátero, então, nossa vista frontal tem o seguinte esboço ilustrativo:




Podemos obter o raio da esfera (Re) usando dois métodos diferentes, vamos resolver usando ambos:

Maneira 1 - Usando a relação trigonométrica cosseno

cos 30° = √3 / Re
√3 /2 = √3 / Re
Re = 2

Maneira 2 - Usando o Teorema de Pitágoras

Re² = (√3)² + [(1/3).h]²
Aqui precisamos obter a altura do triângulo equilátero cujo lado vale 2√3.  Podemos obter h usando também o Teorema de Pitágoras:

h² + (√3)² = (2√3)²
h² = 4.3 - 3
h² = 9
h = 3

Voltando à fórmula, temos:

Re² = 3 + [(1/3).3]²
Re² = 3 + 1²
Re² = 4
Re = 2

Perceba que usando os dois métodos diferentes chegamos ao mesmo valor para o Raio da Esfera.  Finalmente, só precisamos calcular o volume da esfera cujo raio vale 2cm, para isso usaremos a fórmula do volume da esfera (Ve) = (4/3) . π . R³

Ve = (4/3) . π . 2³
Ve = (4/3) . π . 8
Ve = (32/3) . π . cm³
 
Alternativa correta é a letra e).

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões anteriores da EsPCEx.

Um forte abraço e bons estudos.