(EsPCEx 2021) Dado um cubo, o número de pares distintos de retas reversas que podemos traçar, de tal forma que cada reta contenha uma aresta desse cubo, é igual a 

[A] 24. [B] 30. [C] 36. [D] 42. [E] 48.

Solução: questão de matemática da EsPCEx (Concurso de Admissão à Escola Preparatória de Cadetes do Exército – 2021). Prova aplicada no dia 26/09/2021.

Para resolver essa questão sobre geometria espacial, é importante recordar o conceito de retas reversas. 

"Retas reversas são retas que não têm interseção entre elas e que não são paralelas. Isto significa que elas estão em planos diferentes." 

Este conceito de retas reversas foi obtido do artigo "Elementos de Geometria Espacial" de Ulysses Sodré, o qual recomendamos a leitura no link a seguir:


Acesso realizado em 15/10/2021.

Para resolver essa questão, as retas do cubo que nos interessam são aquelas que contém as arestas desse cubo, logo, só existem 12 retas possíveis.  Vamos ilustrar o nosso cubo com as retas a1, a2, a3, ..., a11 e a12.

Agora vamos fazer o seguinte, se tomarmos qualquer uma dessas arestas, vamos escolher a1, quantos pares distintos de retas reversas e que contenham as arestas do cubo nós poderíamos traçar?  Existem 4, vamos desenhá-los a seguir.


Perceba na ilustração acima que se tomarmos a1 e quisermos formar com ele um par de retas reversas contendo as demais arestas do cubo só temos 4 possibilidades, são elas:  

a1 com a6
a1 com a7
a1 com a9
a1 com a10

Se você replicar este raciocínio, isolando cada aresta e formando duplas nestas condições, você perceberá que sempre existirão 4 pares.  Como o cubo tem 12 arestas, então podemos pensar no resultado 12 x 4 = 48.

Mas tem um detalhe, nessa contagem está ocorrendo uma duplicação.  Basta você pensar que quando isolamos a1, conseguimos formar a dupla a1 com a6.  Quando isolamos a6, nós formaremos a dupla a6 com a1 (vide ilustração a seguir), e isto representa uma duplicação na contagem desses pares.  Portanto, temos que dividir o resultado 48 por 2, e finalmente teremos um total de 24 pares distintos.  

Alternativa correta é a letra a).


Curiosidade: veja essa duplicação acontecendo na prática por meio do exemplo a seguir, já isolamos a1 e ele formou dupla com a6. Agora, vamos isolar a6 e formar seus quatro pares. Perceba como ele irá formar uma nova dupla com a1 que será, portanto, repetida.



 

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões anteriores da EsPCEx.

Um forte abraço e bons estudos.