(EsPCEx 2021) Simplificando-se a expressão (2−2i)10 /  i2021 , onde i é a unidade imaginária, obtém-se

[A] −215 i .
[B] 215 .
[C] −210 .
[D] −215 .
[E] 215 i .

Solução: questão de matemática da EsPCEx (Concurso de Admissão à Escola Preparatória de Cadetes do Exército – 2021). Prova aplicada no dia 26/09/2021.

Vamos resolver essa questão por partes:  em primeiro lugar, vamos simplificar o denominador  i2021

Perceba que:

i0 = 1
i¹ = i
i² = -1
i³ = i².i¹ = -1.i = -i
i4  = i² . i² = -1 . -1 = 1

Se continuarmos calculando i5, i6 e assim sucessivamente, vamos visualizar que as potências de base i se repetem de 4 em 4.  Além disso, podemos perceber que as potências de base i cujo expoente é um múltiplo de 4 valem exatamente 1.  Por exemplo, 

i4 = 1
i8 = 1
i12 = 1  e assim sucessivamente.


Sabemos que 2020 é um múltiplo de 4, logo  

i2021 =  i2020. i¹
i2021 =  1. i
i2021 =  i

Em segundo lugar, vamos simplificar o numerador (2−2i)10  , poderíamos aplicar a fórmula de Moivre, mas podemos resolver usando um artifício.

(2−2i)10  =  (2 (1 − i ))10  = 210 . (1-i)10  = 210 . ((1-i)2)5 
= 210 . (1²-2i + i²)5
= 210 . (1 - 2i - 1)5
= 210 . (- 2i)5
= 210 . (-1)5. (2)5. (i)5
= 215 . (-1) . (i)5
= -215 . i4 . i1
= -215 . 1 . i
= -215 . i


Finalmente, basta calcularmos o valor da expressão inicial:  

(2−2i)10 /  i2021
-215. i  /  i
-215. Alternativa correta é a letra d).

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões anteriores da EsPCEx.

Um forte abraço e bons estudos.