(UNICAMP 2022) A parábola 𝑦 = −𝑥2 + 𝑏x + 𝑐 intercepta o eixo 𝑥 nos pontos (𝑝, 0) e (𝑞, 0). Sabe-se que ela intercepta uma única vez cada uma das retas dadas pelas equações 𝑦 = 2𝑥 + 1 e 𝑦 = 1 − 𝑥/2 . O valor de 𝑝 + 𝑞 é: 

a) 2/3. 
b) 3/4.
c) 4/3.
d) 3/2.

Solução: questão de matemática do Vestibular UNICAMP 2022. Prova aplicada no dia 07/11/2021.

Perceba que p e q são as raízes da parábola.  De acordo com as Relações de Girard, sabemos que a soma das raízes (p+q) de uma parábola:  y = ax² + bx + c  é dada por:

p + q = -b/a

Os coeficientes a e b da parábola 𝑦 = −𝑥2 + 𝑏x + 𝑐  são, respectivamente, -1 e b.

p + q = -(b)/(-1)
p+q = b

Então, nosso objetivo é calcular (p + q) que é igual a b.

De acordo com o enunciado, a parábola intercepta uma única vez as retas 𝑦 = 2𝑥 + 1 e 𝑦 = 1 − 𝑥/2.  Deste modo, podemos igualar a equação da parábola a cada equação de reta e forçar o valor de Δ = 0.

>>> Igualando a parábola com a reta 𝑦 = 2𝑥 + 1

−𝑥2 + 𝑏x + 𝑐  =  2𝑥 + 1
-x² + x (b-2) + (c-1) = 0

Δ = (b-2)² - 4 (-1) (c-1) = 0
b² - 4b + 4 +4c - 4 = 0
b² + 4c = 4b (Equação I)

>>> Igualando a parábola com a reta 𝑦 = 1 − 𝑥/2

−𝑥2 + 𝑏x + 𝑐  =  1 − 𝑥/2
-x² + x(b+1/2) + c - 1 = 0

Δ = (b+1/2)² - 4 (-1) (c-1) = 0
b² + b + 1/4 +4c - 4 = 0
b² + b + 4c - 15/4 = 0   
b² + 4c = 15/4 - b (Equação II)

Repare que as equações I e II são muito parecidas, igualando I e II, vamos encontrar b:

4b = 15/4 - b
5b = 15/4
b = 3/4
 
Alternativa correta é a letra b).

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões anteriores da UNICAMP.

Um forte abraço e bons estudos.