(UNICAMP 2022) Pedra-papel-tesoura, também chamado jankenpon ou
jokempô, é um jogo recreativo para duas pessoas. Nesse
jogo, os participantes usam as mãos para representar os
símbolos de pedra, papel e tesoura, conforme mostrado
nos emojis a seguir:
Pelas regras do jogo, o participante que escolher “pedra”
ganha do que escolher tesoura; o participante que escolher
tesoura ganha do que escolher papel; por fim, o que
escolher papel ganha do que escolher pedra. Se ambos
escolherem os mesmos símbolos, eles empatam.
Admitindo que os participantes escolhem os símbolos com
igual probabilidade, qual a chance de acontecer pelo
menos um empate em três partidas?
a) 16/27.
b) 17/27.
c) 18/27.
d) 19/27.
Solução: questão de matemática do Vestibular UNICAMP 2022. Prova aplicada no dia 07/11/2021.
Para resolvermos essa questão de probabilidade, primeiramente, vamos calcular:
>> Probabilidade de ocorrer empate em uma única partida
Do enunciado: "admitindo que os participantes escolhem os símbolos com igual probabilidade", isto quer dizer, que cada jogador escolherá aleatoriamente pedra, papel e tesoura, não haverá um jogador que só escolherá pedra, por exemplo.
Sendo assim, em cada partida, o jogador A tem 3 opções de escolha e o jogador B também. Logo, o universo de resultados é dado por 3 x 3 = 9.
Para que haja empate, só existem três situações:
Jogador A e Jogador B
Pedra Pedra
Papel Papel
Tesoura Tesoura
A fórmula da probabilidade é P = E/U.
A probabilidade (P) é dada pela divisão da quantidade de elementos do conjunto evento esperado (E) pela quantidade de elementos do conjunto universo (U), também conhecido como espaço amostral.
A probabilidade de empate é P = E/U = 3/9 = 1/3
>> Probabilidade de ocorrer vitória em uma única partida
Aqui, não importa quem venceu, se foi o jogador A ou o jogador B, o que importa é que não ocorreu empate. Repare que esta probabilidade é complementar à probabilidade de ocorrer empate, isto porque só existem essas duas possibilidades (ou há um empate num jogo, ou alguém vence). Como as duas probabilidades são complementares, então a soma de ambas vale 100% (o mesmo que 1).
Probabilidade de empate + Probabilidade de vitória = 1
1/3 + Probabilidade de vitória = 1
Probabilidade de vitória = 1 - (1/3)
Probabilidade de vitória = 2/3
Agora, precisamos ter atenção quanto ao comando da questão: qual a chance de acontecer pelo menos um empate em três partidas?
Para acontecer pelo menos um empate, em três partidas, então podemos ter 1 empate, ou 2 empates ou 3 empates. Teremos que somar esses três cenários.
>> 1 Empate
E V V
V E V
V V E
Perceba que existem três possibilidades para acontecer 1 empate e 2 vitórias nas três partidas, então temos que multiplicar:
3 x Probabilidade de Empate x Probabilidade de Vitória x Probabilidade de Vitória
3 x [ 1/3 x 2/3 x 2/3 ]
3 x ( 4/27 )
12/27
>> 2 Empates
E E V
E V E
V E E
Perceba que existem três possibilidades para acontecer 2 empates e 1 vitória nas três partidas, então temos que multiplicar:
3 x Probabilidade de Empate x Probabilidade de Empate x Probabilidade de Vitória
3 x [ 1/3 x 1/3 x 2/3 ]
3 x (2/27)
6/27
>> 3 Empates
E E E
Perceba que só existe uma possibilidade para acontecer 3 empates, então temos que multiplicar:
1 x Probabilidade de Empate x Probabilidade de Empate x Probabilidade de Empate
1 x [1/3 x 1/3 x 1/3]
1/27
Finalmente, somamos: 12/27 + 6/27 + 1/27 = 19/27. Alternativa correta é a letra d).
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