(ENEM 2021) O organizador de uma competição de lançamento de dardos pretende tornar o campeonato mais competitivo.  Pelas regras atuais da competição, numa rodada, o jogador lança 3 dardos e pontua caso acerte pelo menos um deles no alvo.  O organizador considera que, em média, os jogadores têm, em cada lançamento, 1/2 de probabilidade de acertar um dardo no alvo.

A fim de tornar o jogo mais atrativo, planeja modificar as regras de modo que a probabilidade de um jogador pontuar em uma rodada seja igual ou superior a 9/10.  Para isso, decide aumentar a quantidade de dardos a serem lançados em cada rodada.

Com base nos valores considerados pelo organizador da competição, a quantidade mínima de dardos que devem ser disponibilizados em uma rodada para tornar o jogo mais atrativo é

a) 2.
b) 4.
c) 6.
d) 9.
e) 10.


Solução: questão de matemática sobre probabilidade do ENEM 2021,  prova aplicada no dia 28/11/2021.

Nesse tipo de questão de probabilidade, fica mais prático trabalhar com a probabilidade complementar, no caso a probabilidade de não pontuar.

Sabemos que pontuar e não pontuar em uma rodada são eventos complementares, ou seja, só existem esses dois casos em uma rodada, de modo que:

Probabilidade de Pontuar [P] + Probabilidade de não pontuar [ÑP] = 100% = 1

Ou seja, temos que:

P + ÑP = 1

Além disso, sejam:

PE = probabilidade de errar um único arremesso = 1/2
PA = probabilidade de acertar um único arremesso = 1/2

Por exemplo, numa rodada, quando são feitos 3 arremessos, então existe uma probabilidade de não pontuar de:

ÑP = PE x PE x PE = (1/2) x (1/2) x (1/2) = 1/8

O que nós queremos agora é o seguinte, ir adicionando mais e mais quantidades de arremessos de modo que a probabilidade de pontuar P seja maior ou igual a 9/10.  Podemos encontrar ÑP por meio da fórmula.

P + ÑP = 1
9/10 + ÑP = 1
ÑP = 1 - 9/10
ÑP = 1/10

Repare que o que queremos é o seguinte:

P ≥ 9/10 e  ÑP ≤ 1/10

Para isso, fica nítido que só precisamos adicionar a cada rodada, mais um único arremesso e já alcançaremos nosso objetivo.  Veja só:

ÑP = PE x PE x PE x PE = (1/2) x (1/2) x (1/2) x (1/2) = 1/16

Podemos concluir que com 4 possibilidades de arremessos, em cada rodada, a chance de um jogador não pontuar será de 1/16 e por conseguinte a chance dele pontuar na rodada será de 15/16 e este valor já está superando o valor de 9/10.  Então, só precisamos adicionar mais 1 arremesso, aos 3 que a rodada já possuía inicialmente, o que resultará num total de no mínimo 4 arremessos por rodada.
 
Alternativa correta é a letra b).

Curiosidade:  com valores pequenos, ficou um pouco mais prático chegar ao resultado.  Entretanto, também poderíamos equacionar a resolução da seguinte forma:

Sabemos que:

ÑP ≤ 1/10   

Além disso

ÑP  = (1/2) x (1/2) x (1/2) x .... x (1/2)
               um total de n vezes

O que resulta em:

ÑP  = (1/2)n

Agora, vamos resolver a inequação, lembre-se que n só pode assumir valores inteiros positivos:

(1/2)n  ≤ 1/10   

Para n = 3, temos:  1/8  ≤ 1/10   (FALSO)
Para n = 4, temos:  1/16  ≤ 1/10   (VERDADEIRO)

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões anteriores do ENEM.

Um forte abraço e bons estudos.