(ENEM 2021) Para a comunicação entre dois navios é utilizado um sistema de codificação com base em valores numéricos. Para isso, são consideradas as operações Δ e estrela *, definidas sobre o conjunto dos números reais por xΔy = x² + xy - y² e x * y = xy + x. O navio que deseja enviar uma mensagem deve fornecer um valor de entrada b, que irá gerar um valor de saída, a ser enviado ao navio receptor, dado pela soma das duas maiores soluções da equação (aΔb)*(bΔa) = 0. Cada valor possível de entrada e saída representa uma mensagem diferente já conhecida pelos dois navios.

(ENEM 2021) Para a comunicação entre dois navios é utilizado um sistema de codificação com base em valores numéricos.  Para isso, são consideradas as operações Δ e estrela *, definidas sobre o conjunto dos números reais por xΔy = x² + xy - y²    e    x * y = xy + x.

O navio que deseja enviar uma mensagem deve fornecer um valor de entrada b, que irá gerar um valor de saída, a ser enviado ao navio receptor, dado pela soma das duas maiores soluções da equação
(aΔb)*(bΔa) = 0.  Cada valor possível de entrada e saída representa uma mensagem diferente já conhecida pelos dois navios.

Um navio deseja enviar ao outro a mensagem "ATENÇÃO!".  Para isso, deve utilizar o valor de entrada b = 1.

Dessa forma, o valor recebido pelo navio receptor será

a) √5
b) √3
c) √1
d) -1 + √5
          2
e) 3 + √5
         2

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Solução: questão de matemática do ENEM 2021,  prova aplicada no dia 28/11/2021.

Temos que encontrar as duas maiores raízes da expressão: 

(aΔb)*(bΔa) = 0.

Como o valor de entrada vale b=1, então temos que:

(aΔ1)*(1Δa) = 0.

Vamos resolver este problema por partes, para tanto, vamos usar o seguinte artifício:

x = aΔ1

y = 1Δa

Sendo assim, 

(aΔ1)*(1Δa) = 0

(x)*(y) = 0

Resolvendo a operação estrela:

xy + x = 0

x ( y + 1) = 0

Para essa equação valer 0, temos que :

x = 0   ou   y + 1 = 0

Agora, voltamos nas operações Δ

• x = aΔ1 = 0

Aplicando a operação Δ

a² + a.1 - 1² = 0

a² + a - 1 = 0

Resolvendo essa equação do segundo grau pela fórmula de Bhaskara encontraremos as raízes:

a = -1 ± √(1² - 4 . 1 . (-1))
                     2.(1)

a = -1 ± √5
          2

As duas raízes são:

a = -1 + √5   e    -1 - √5  
             2                      2

>> Veja neste exemplo, uma revisão sobre como encontrar as raízes de uma equação do segundo grau usando a fórmula de Bhaskara.

• y + 1 = (1Δa) + 1 = 0

Aplicando a operação Δ

(1² + 1 . a - a²) + 1 = 0

1 + a - a² + 1 = 0

-a² + a + 2 = 0

Novamente, vamos resolver essa equação do segundo grau pela fórmula de Bhaskara encontraremos as raízes:

a = -1 ± √(1² - 4 . (-1) . (2))
                     2.(-1)

a = -1 ± √9
         -2

a = -1 ± 3
         -2

As duas raízes são:

a = (-1 +3)/-2 = -1

a = (-1 -3)/-2 = 2

Encontramos as seguintes raízes, em ordem crescente

(-1 - √5)/2  ;   -1  ;  (-1 + √5)/2  ;  2

Finalmente, basta somarmos as duas maiores:

(-1+√5) + 2

      2

(-1+√5) + 4

      2            2

(3+√5)

    2

 
Alternativa correta é a letra e).

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões anteriores do ENEM.

Um forte abraço e bons estudos.