(VUNESP 2022) A figura indica o projeto de uma escultura maciça em forma de pirâmide de vértice V, base ABCDEFGH e altura VH, que será feita com espuma expansiva rígida de poliuretano. Sabe-se que AHGF é um quadrado de área igual a 3 m² , BCDE é um retângulo, com BC = 3 m e CD = 4, e que o ângulo HGV mede 60º.

(VUNESP 2022) A figura indica o projeto de uma escultura maciça em forma de pirâmide de vértice V, base ABCDEFGH e altura VH, que será feita com espuma expansiva rígida de poliuretano. Sabe-se que AHGF é um quadrado de área igual a 3 m² , BCDE é um retângulo, com BC = 3 m e CD = 4, e que o ângulo HGV mede 60º.

Sabendo que 1 m³ corresponde a 1000 litros e que o custo da quantidade de espuma de poliuretano necessária para ocupar a capacidade de 1 litro é de R$ 5,00, para fazer por completo essa escultura, desconsiderando desperdícios, o valor gasto com espuma será de 

(A) R$ 40.000,00. (B) R$ 37.500,00. (C) R$ 42.500,00. (D) R$ 35.000,00. (E) R$ 45.000,00.

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Solução: questão de matemática do Vestibular da UNESP 2022 (Cursos das Áreas de Exatas e Humanidades), prova do dia 15/11/2021.

Uma questão muito interessante de geometria espacial.  Repare inicialmente que para calcularmos o volume da escultura (VE) precisamos calcular:

VE = Volume da pirâmide maior - Volume da pirâmide menor

>>> A pirâmide maior é a que possui os vértices em VEDCB, possui altura igual a VH e área da base igual a (3x4) = 12 m².

>>> A pirâmide menor é a que possui os vértices em VFGHA, possui altura igual a VH e área da base igual a 3 m².

Perceba que ambas possuem altura igual a VH e podemos encontrá-la por meio das relações trigonométricas no triângulo retângulo VHG.  Repare que a tangente de 60° é igual ao cateto oposto (VH) dividido pelo cateto adjacente (HG).

Sabemos que tangente de 60° vale √3.  Caso necessário, consulte aqui uma tabela trigonométrica com ângulos notáveis e uma bateria de exercícios sobre relações trigonométricas no triângulo retângulo.

Sabemos também que HG vale √3, isto porque a área do quadrado AHGF vale 3, logo seus lados valem √3.  Aplicando estes valores na expressão, temos:

tg 60° = VH/HG

√3 = VH / √3

VH = 3

Fórmula do volume da pirâmide: sabemos que o volume da pirâmide é igual a (1/3) vezes a área da base vezes a altura da pirâmide.  Agora, basta aplicarmos os valores nesta fórmula:

VE = Volume da pirâmide maior - Volume da pirâmide menor

VE = (1/3) x 12 x 3 - (1/3) x 3 x 3

VE = 12 - 3

VE = 9 m³

Podemos concluir que o volume da escultura é de 9 m³ que é igual a 9 000 litros.  

Sabemos que o custo da quantidade de espuma de poliuretano necessária para ocupar a capacidade de 1 litro é de R$ 5,00. 

Sendo assim, para fazer por completo essa escultura, desconsiderando desperdícios, o valor gasto com espuma será de 9 000 x R$ 5,00 = R$ 45 000,00.

Alternativa correta é a letra e).

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões anteriores do Vestibular da UNESP.

Um forte abraço e bons estudos.