(FATEC 2020) Uma empresa trabalha com fretamento de ônibus para o litoral. O valor cobrado por passageiro, no caso dos 50 lugares disponíveis serem todos ocupados, é de R$ 40,00. No caso de não ocorrer a lotação máxima, cada passageiro deverá pagar R$ 2,00 a mais por assento vazio. 

O valor máximo arrecadado por essa empresa, numa dessas viagens, é 

(A) R$ 2.000,00 (B) R$ 2.200,00 (C) R$ 2.350,00 (D) R$ 2.450,00 (E) R$ 2.540,00

Solução: questão de matemática do Vestibular Fatec 1° Semestre 2020, prova do dia 08/12/2019.

Uma questão muito interessante de maximização, com aplicação prática da matemática no dia a dia, onde utilizaremos as coordenadas do vértice da parábola.  Repare que, em cada viagem, a arrecadação (A) dessa empresa varia em função da quantidade de assentos vazios, que chamaremos de x.

Sabemos que a arrecadação é igual a quantidade de passagens vendidas vezes o preço de cada passagem.

A(x) = Qtde vezes Preço

Qtde (x) = 50 - x
Preço(x) = 40 + 2x

Sendo assim, 

A(x) = (50 - x) . (40 + 2x)

Vamos desenvolvê-la

A(x) = 2000 + 100x - 40x - 2x²
A(x) = -2x² + 60x + 2000

Agora, nosso objetivo é maximizar essa função do segundo grau.  Esse tipo de exercício envolve as coordenadas do vértice da parábola.  Perceba que A(x) = -2x² + 60x + 2000 tem o gráfico de uma função do segundo grau, ou seja, o gráfico de uma parábola e que possui concavidade voltada para baixo, isto porque seu coeficiente "a" é negativo (a = -2), então a parábola fica com um formato de ∩.  Portanto, esta parábola terá um ponto de máximo, exatamente sobre seu vértice. Veja na ilustração a seguir de uma parábola qualquer com concavidade voltada para baixo (não necessariamente idêntica a A(x) desta questão):


fórmulas das coordenadas do vértice de uma parábola

As fórmulas das coordenadas do vértice da parábola (Xv,Yv) são:

Xv = -b/2a
Yv = -Δ/4a  onde   Δ = b² - 4ac

Nesta questão, nos interessa encontrar apenas o Yv, pois o requisito do enunciado é "o valor máximo arrecadado por essa empresa, numa dessas viagens, é ".  Sendo assim, A(x) máximo será o Yv.

Δ = 60² - 4(-2)(2000)
Δ = 3 600 + 16 000
Δ = 19 600

Yv = -19 600/4(-2)  
Yv = -19 600/-8
Yv = 2 450

Podemos concluir que o valor máximo arrecadado por essa empresa, numa dessas viagens, é 
R$ 2 450,00.

Alternativa correta é a letra d).

A título de curiosidade, este valor máximo de arrecadação de 2450 ocorre quando x é igual ao Xv.

Xv = -b/2a = -60/2(-2) = -60 / -4 = 15.

Ou seja, quando o ônibus viaja com 15 assentos vazios, então quer dizer que estão presentes 

50 - 15 = 35 passageiros. 

Cada um deles está pagando 40 + 2 . 15 = 40 + 30 = 70 reais.

Sendo assim, temos que  

Arrecadação = 35 passagens vezes 70 reais

Arrecadação = R$ 2 450,00   

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões de matemática do Vestibular FATEC - SP.

Um forte abraço e bons estudos.