(UERJ 2018) Considere a sequência (an) = (2, 3, 1, - 2, ...) n ∈ IN*, com 70 termos, cuja fórmula de recorrência é:

an = an - 1 - an - 2

O último termo dessa sequência é: 

(A) 1 (B) 2 (C) - 1 (D) - 2

Solução: questão de matemática sobre sequências numéricas do Vestibular UERJ 2018, prova do dia 17/09/2017.

Vamos desenvolver essa sequência até encontrarmos um padrão de repetição.  Do enunciado, já conhecemos os 4 primeiros termos, são eles (2, 3, 1, - 2).  Para encontrarmos o 5º termo, basta subtrairmos o 4º termo menos o 3º termo.  

5° termo = (4° termo) - (3° termo)
5° termo = (-2) - (1)
5° termo = -2 -1
5° termo = -3

A sequência fica desta forma:  (2, 3, 1, - 2, -3, ...)

Vamos repetir essa lógica para o 6° termo, que será igual ao quinto menos o quarto.

6°termo = -3 - (-2)
6°termo = -3 + 2
6°termo = -1

A sequência fica desta forma:  (2, 3, 1, - 2, -3, -1 ...)

Aplicando esse mesmo raciocínio, teremos o seguinte padrão de repetição:

(an) = (2, 3, 1, - 2, -3, -1, 2, 3, 1, -2, .....

Repare que essa sequência é formada por repetições dos seis elementos {2, 3, 1, - 2, -3, -1}.  Sendo assim,  para encontrarmos qual é o 70° termo dessa sequência, vamos dividir 70 / 6.  Como resultado, encontraremos quociente igual a 11 e resto igual a 4.  

70/6 = 11 x 6 + 4

A partir de agora, o mais importante é este valor do resto que é igual a 4.  Isto porque a sequência será formada pela repetição do bloco {2, 3, 1, - 2, -3, -1} por 11 vezes.  Depois disso, teremos mais quatro elementos {2, 3, 1, - 2}, de modo que o 70° elemento é igual a -2.  Alternativa correta é a letra d).

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões de matemática da UERJ.

Um forte abraço e bons estudos.