(UFPR 2022) No plano cartesiano, considere o triângulo ABC com A = (8,6), B = (3, -4) e C = (-1,2). Seja D o ponto de intersecção do segmento AB com o eixo x. Se r é a reta que passa por D, sendo essa reta paralela à reta que passa por B e C, assinale a alternativa que corresponde à equação de r.
(UFPR 2022) No plano cartesiano, considere o triângulo ABC com A = (8,6), B = (3, -4) e C = (-1,2). Seja D o ponto de intersecção do segmento AB com o eixo x. Se r é a reta que passa por D, sendo essa reta paralela à reta que passa por B e C, assinale a alternativa que corresponde à equação de r.
a) 3x + 2y = 15.
b) 2x + 3y = 10.
c) 3x + 2y = 8.
d) 3x + 2y = 3.
e) 2x + 3y = 2.
Solução: questão de matemática do Vestibular UFPR 2022, prova do dia 13/02/2022.
Para resolver essa questão de geometria analítica, primeiramente, vamos ilustrar a reta r e os pontos A, B, C e D no plano cartesiano.
Nosso primeiro objetivo é encontrar a abscissa do ponto D, podemos fazer isso de várias maneiras, vamos encontrar x por meio de determinantes. Os pontos A = (8,6), D = (x,0) e B = (3, -4) pertencem à mesma reta, sendo assim, vale a regra:
| x1 y1 1 |
| x2 y2 1 | = 0
| x3 y3 1 |
| 8 6 1 |
| x 0 1 | = 0
| 3 -4 1 |
**Esse determinante pode ser calculado usando a regra de Sarrus, saiba mais.
Após desenvolvermos o determinante, chegaremos em:
det = -10x + 50 = 0
-10x = -50
x = -50/-10
x = 5
Curiosidade: este valor também pode ser obtido por meio de semelhança de triângulos, por meio da obtenção da reta que passa por A e B e também por meio do coeficiente angular. Caso tenha interesse, explore aqui nessa outra questão outras maneiras de resolvermos esse tipo de problema.
Então, sabemos que o ponto D tem coordenadas (5,0).
Agora, precisamos do coeficiente angular da reta r que passa pelo ponto D. Sabemos, do enunciado, que a reta r é paralela à reta que passa por B e C.
Da geometria analítica, sabemos que quando duas retas são paralelas, então seus coeficientes angulares são iguais. Logo, se encontrarmos o coeficiente angular da reta que passa por B e C, então este coeficiente angular será igual ao coeficiente angular da reta r.
Re-lembrando, a fórmula do coeficiente angular é |
m = (-4 -2) / (3 - (-1))
m = -6/(3+1)
m = -6/4
m = -3/2
Finalmente, podemos obter a equação da reta r por meio da fórmula
(y-y0) = m (x-xo)
onde m = -3/2 e (x0,y0) = (5,0)
y - 0 = (-3/2) ( x - 5 )
y = -3x/2 + 15/2
Vamos multiplicar todos os elementos por 2
2y = -3x + 15
3x + 2y = 15
Alternativa correta é a letra a).
Aproveite e continue praticando com uma lista de questões de matemática da UFPR.
Um forte abraço e bons estudos.