(UERJ 2017) Considere a matriz Anx9 de nove colunas com números inteiros consecutivos, escrita a seguir.

Se o número 18109 é um elemento da última linha, linha de ordem n, o número de linhas dessa matriz é: 

(A) 2011 (B) 2012 (C) 2013 (D) 2014

Solução: questão de matemática do Vestibular UERJ 2017, prova do dia 16/10/2016 (2° Exame de Qualificação).

Uma questão muito interessante de matrizes e sequências numéricas.  Repare que o primeiro elemento de cada linha está formando uma progressão aritmética (PA) cujo primeiro elemento (a1) é igual a 1 e a razão (r) vale 9.

PA = {1, 10, 19, 28, ..... an } 

Do enunciado: "se o número 18109 é um elemento da última linha, linha de ordem n, o número de linhas dessa matriz é: "

Isto quer dizer que a matriz possui n linhas, e dentro desta n-ésima linha está o número 18109.  A estratégia que iremos adotar para encontrar n é a seguinte:  vamos utilizar a fórmula do n-ésimo termo da PA a seguir:  

an = a1 + (n-1) . r

Vamos aplicar an = 18109 nesta fórmula para encontrar o valor de n.  Atente para o fato de que duas coisas poderão acontecer:  

>> Ou n será um número inteiro e isto quer dizer que 18109 faz parte da PA, ou seja, é exatamente o primeiro elemento da linha n da matriz;
>> Ou n será um número fracionário e isto quer dizer que 18109 não faz parte da PA, ou seja, não é o primeiro elemento da linha n, mas ele está na linha n da matriz, com n sendo arredondado para baixo.  Por exemplo, se encontrarmos n = 2010,4 então arredondaremos a quantidade n de linhas para 2010, ou seja, desprezaremos a parte fracionária e ficaremos apenas com a parte inteira.  Perceba que quando n é fracionário, por exemplo, n = 2010,4, isto significa que o 18109 está compreendido entre os termos  da posição 2010 e 2011 da PA, e isto quer dizer que o 18109 está dentro da linha 2010.

Vamos seguir na resolução em busca de n:

an = a1 + (n-1) . r
18109 = 1 + (n - 1) . 9
18109 - 1 = 9n - 9
18108 = 9n - 9
18117 = 9n
n = 18117 / 9
n = 2013

Encontramos n como um valor inteiro, isto quer dizer que o número 18109 está na linha 2013 e além disso, conforme comentamos acima, ele faz parte da PA, ou seja, ele é um número que exatamente inicia uma linha da matriz dada.   Finalmente, podemos concluir que a matriz terminará na linha n=2013 da seguinte forma:


Alternativa correta é a letra c).

Curiosidade:  e se a questão da UERJ tivesse perguntado sobre o número 18110?  Será que encontraríamos que ele está na linha 2013 adotando este mesmo raciocínio?  Vamos testar?

an = a1 + (n-1) . r
18110 = 1 + (n-1) . 9
18109 = 9n - 9
9n = 18118
n ≅ 2013,1

Repare que não encontramos n como inteiro, isto quer dizer que o 18110 não faz parte da PA, ou seja, não é o primeiro termo de uma linha da matriz.  Mas sabemos que ele está compreendido entre os elementos da posição 2013 e 2014 da PA.  Vamos arredondar 2013,1 para baixo, ou seja, para 2013 e podemos responder que o 18110 está na linha de número 2013 dessa matriz.

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões de matemática da UERJ.

Um forte abraço e bons estudos.