(UERJ 2017) Considere o gráfico a seguir, em que a área S é limitada pelos eixos coordenados, pela reta r, que passa por A(0,4) e B(2,0), e pela reta perpendicular ao eixo x no ponto P(xo,0), sendo 0 ≤ xo ≤ 2.

Para que a área S seja a metade da área do triângulo de vértices C(0,0), A e B, o valor de xo deve ser igual a:

a) 2 - √2
b) 3 - √2
c) 4 - 2√2
d) 5 - 2√2

Solução: questão de matemática do Vestibular UERJ 2017, prova do dia 12/06/2016 (1° Exame de Qualificação).

Uma questão muito rica e interessante que aborda conhecimentos de geometria analítica e geometria plana.  Vamos resolvê-la passo a passo.  Em primeiro lugar, vamos calcular a área do triângulo ABC:

Área de ABC = (BC x AC) /2
Área de ABC = (2 x 4) /2
Área de ABC = 4

O objetivo da questão é encontrar xo de modo que a área S tenha a metade da área do triângulo ABC, ou seja, S = (4/2) = 2.  Vamos fazer algumas ilustrações na figura:


Repare que ilustramos na figura, o ponto M (xo,yo), que é o ponto de interseção das retas r e w, vamos trabalhar nisso mais adiante.  Agora, repare que a área S representa um trapézio e podemos calcular a sua área por meio da fórmula:

S = ( B + b) . h
             2
B é a base maior, b é a base menor e h é a altura do trapézio.
  • B é o segmento AC, que vale 4.
  • b é o segmento PM, que vale yo.
  • h é o segmento CP que vale xo.
Vamos aplicar estes valores na fórmula:

S = ( 4 + yo) . xo
             2
Lembre-se que queremos S = 2.

2 = ( 4 + yo) . xo
             2
4 = ( 4 + yo) . xo

Chegamos a esta expressão, agora, o que vamos fazer é obter o valor de yo em função de xo e com isso poderemos encontrar o valor de xo.

Precisamos agora da equação da reta r, podemos encontrá-la de várias maneiras.  Uma vez que já conhecemos os dois pontos de encontro da reta r com os eixos x e y, então vamos usar a equação segmentária da reta.  Caso necessário, você pode fazer uma breve revisão de o que é a equação segmentária da reta com a figura a seguir:



Aplicando essa estrutura aos pontos A(0,4) e B(2,0), temos:

x/2 + y/4 = 1
Vamos multiplicar os dois lados da equação por 4.
4 (x/2 + y/4) = 4 (1)
4x/2 + 4y/4 = 4
2x + y = 4
y = -2x + 4

Agora, basta aplicarmos x = xo nesta equação e encontraremos o valor respectivo de yo.

yo = -2. xo + 4

Agora, vamos voltar na equação: 

4 = ( 4 + yo) . xo  
4 = ( 4 - 2.xo + 4) . xo
4 = ( 8 - 2.xo ) . xo
4 = 8.xo - 2.xo² 
2.xo² - 8.xo + 4 = 0
xo² - 4.xo + 2 = 0

Podemos obter as raízes dessa equação do segundo grau usando a fórmula de Bhaskara:

xo = (-b ± √Δ)/2a
Δ = b² - 4ac

Δ = (-4)² - 4 (1) (2)
Δ = 16 - 8
Δ = 8
√Δ = 2√2

xo = [- (-4) ± 2√2] / 2 (1)
xo = [4 ± 2√2] / 2
xo = 2 + √2  ou  xo = 2 - √2

Atente para o fato de que o enunciado estabeleceu a restrição de que 0 ≤ xo ≤ 2.  Portanto, só podemos ficar com o 
xo = 2 - √2

Alternativa correta é a letra a).

Curiosidade:  vamos tirar uma prova real.
M é o ponto de coordenadas (xo,yo) que valem:

xo = 2 - √2
yo = -2. xo + 4 = -2 (2 - √2) + 4 = -4 + 2√2 + 4
yo = 2√2

A área S é igual a 

S = ( B + b) . h
             2
S = (4 + 2√2) . (2 - √2)
             2
S = (2 + √2)  (2 - √2) 

S = (2)² - (√2) ²
S = 4 - 2
S = 2    (ok!)

Note que quando (xo = 2 - √2)  encontramos a área S = 2, exatamente conforme era o objetivo inicial da questão.

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões de matemática da UERJ.

Um forte abraço e bons estudos.