(UERJ 2017) No plano cartesiano a seguir, estão representados o gráfico da função definida por f(x) = x² + 2, com x ∈ IR , e os vértices dos quadrados adjacentes ABCD e DMNP.

Observe que B e P são pontos do gráfico da função f e que A, B, D e M são pontos dos eixos coordenados. Desse modo, a área do polígono ABCPNM, formado pela união dos dois quadrados, é:

(A) 20 (B) 28 (C) 36 (D) 40

Solução: questão de matemática do Vestibular UERJ 2017, prova do dia 16/10/2016 (2° Exame de Qualificação).

Repare na figura que as ordenadas dos pontos B e P representam, respectivamente, as medidas dos lados do quadrado ABCD e do quadrado DMNP.  Vamos encontrá-las:

>> Ordenada do ponto B 

Repare que a ordenada do ponto B (0,y) pode ser obtida aplicando-se (x=0) na função do segundo grau.

y = x² + 2
y = 0² +2
y = 2

Então, o lado do quadrado ABCD vale 2. 

Sabemos que a área do quadrado é igual a (lado)².  Portanto, a área de ABCD é igual a (2)² = 4.

>> Ordenada do ponto P

Vamos atualizar a figura com as informações obtidas até aqui.

Como ABCD é um quadrado de lado igual a 2, então o ponto D está 2 unidades distantes da origem.  Logo, o ponto D tem coordenadas (2,0).  Além disso, D, C e P estão sobre a mesma reta, que é paralela ao eixo y.  Sendo assim, perceba que as coordenadas de P são (2,y).  Podemos obter a ordenada de P aplicando (x=2) na função do segundo grau.

y = x² + 2
y = 2² +2
y = 4 +2
y = 6

Então, o lado do quadrado DMNP vale 6 e sua área vale (6)² = 36.

Finalmente, a área do polígono ABCPNM, formado pela união dos dois quadrados, é: 
4 + 36 = 40.  Alternativa correta é a letra d).

Veja como ficou a ilustração com os valores obtidos:


Aproveite e continue praticando com uma lista de questões de matemática da UERJ.

Um forte abraço e bons estudos.