(UERJ 2017) Uma urna contém uma bola branca, quatro bolas pretas e x bolas vermelhas, sendo x > 2. Uma bola é retirada ao acaso dessa urna, é observada e recolocada na urna.  Em seguida, retira-se novamente, ao acaso, uma bola dessa urna. 

Se 1/2 é a probabilidade de que as duas bolas retiradas sejam da mesma cor, o valor de x é: 

(A) 9 (B) 8 (C) 7 (D) 6

Solução: questão de matemática do Vestibular UERJ 2017, prova do dia 16/10/2016 (2° Exame de Qualificação).

Uma questão muito interessante sobre probabilidade, onde teremos que resolver também uma equação do segundo grau.  Primeiramente, repare que a urna é formada por um total de:

(1 + 4 + x) bolas
(5 + x) bolas

Agora, vamos recordar a fórmula da probabilidade (P):

P=E/U

E = quantidade de eventos favoráveis
U = total de eventos (espaço amostral)

>>> A probabilidade de tirar uma bola branca (PB) com uma tentativa é de:  

Quantas bolas brancas temos?  Apenas 1, então E = 1.
Quantas bolas no total? São (5+x), então U = (5+x).

PB = 1 / (5+x)

>>> A probabilidade de tirar uma bola preta (PP) com uma tentativa é de:  

Mesmo raciocínio, temos 4 bolas pretas e um total de (5+x) bolas.  Sendo assim, 

PP = 4 / (5+x)

>>> A probabilidade de tirar uma bola vermelha (PV) com uma tentativa é de:  

Mesmo raciocínio, temos x bolas vermelhas e um total de (5+x) bolas.  Sendo assim, 

PP = x / (5+x)

O enunciado informa que as bolas serão retiradas ao acaso duas vezes e com reposição da primeira bola retirada na urna, antes da retirada da segunda bola.  Isto quer dizer que nas duas retiradas o total de bolas na urna será de (5+x).  Além disso, o enunciado também nos informa que 1/2 é a probabilidade de que as duas bolas retiradas sejam da mesma cor, sendo assim, temos que:

A probabilidade de retirar duas bolas da mesma cor será igual a soma da probabilidade de tirar duas bolas brancas, mais a probabilidade de tirar duas bolas pretas e mais a probabilidade de tirar duas bolas vermelhas.

A probabilidade de tirar duas bolas brancas em duas retiradas é dada por:  PB x PB
A probabilidade de tirar duas bolas pretas em duas retiradas é dada por:  PP x PP 
A probabilidade de tirar duas bolas vermelhas em duas retiradas é dada por:  PV x PV 

Vamos equacionar isto:

1/2 = PB x PB + PP x PP + PV x PV 
1/2 = (PB )2 + (PP)2 + (PV)2
1/2 = 1 / (5+x)² + 4² / (5+x)² + x² / (5+x)²
1/2 = (1 + 16 + x²) / (5+x)²
1/2 = (17 + x²) / (25 + 10x +x²)
(25 + 10x +x²) = 2 (17 + x²)
25 + 10x +x² = 34 + 2x²
x² - 10x + 9 = 0

Podemos resolver essa equação do segundo grau usando a fórmula de bhaskara.  Entretanto, vamos resolver utilizado as Relações de Girard de soma e produto de duas raízes de uma equação do segundo grau.

Soma das raízes dessa equação do segunda grau vale:  -b/a = - (-10)/1 = 10
Produto das raízes dessa equação do segunda grau vale:  c/a = 9/1 = 9

As raízes são:  x = 1 e x = 9.  Uma vez que 1 + 9 = 10 e que 1 . 9 = 9.

Agora, temos que atentar para a restrição dada para x no enunciado, que nos informa que " x > 2".  Por isso, temos que eliminar x=1 e ficar com x = 9.

Sendo assim, a quantidade x de bolas vermelhas na urna é igual a 9.

Alternativa correta é a letra a).

Curiosidade:  para fins de estudos, vamos tirar uma prova real e verificar se com 9 bolas vermelhas na urna, a probabilidade de saírem duas bolas de mesma cor será realmente igual a 1/2 conforme foi proposto no enunciado.   Como a urna contém 1 branca, 4 pretas e 9 vermelhas, então ela tem um total de 14 bolas.  

Probabilidade de duas brancas = (1/14) x (1/14) = 1/14²
Probabilidade de duas pretas = (4/14) x (4/14) = 16/14²
Probabilidade de duas vermelhas = (9/14) x (9/14) = 81/14²

A probabilidade de saírem duas de mesma cor será a soma dessas três probabilidades:

(1/14²) + ( 16/14² ) + (81/14²)
(1 + 16 + 81) / 196
98 / 196
1/2 (exatamente conforme proposto no enunciado)

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões de matemática da UERJ.

Um forte abraço e bons estudos.