(UERJ 2022) A imagem a seguir apresenta cinco linhas horizontais de pregos em uma disposição triangular sobre uma superfície plana, inclinada em relação ao plano horizontal. Ao soltar uma bolinha, ela rola e choca-se com o prego da primeira linha, na posição I. Em seguida, ela continua a rolar, chocando-se com apenas um prego de cada linha subsequente e, dependendo de sua trajetória, poderá cair no recipiente, na posição II.

(UERJ 2022) A imagem a seguir apresenta cinco linhas horizontais de pregos em uma disposição triangular sobre uma superfície plana, inclinada em relação ao plano horizontal. Ao soltar uma bolinha, ela rola e choca-se com o prego da primeira linha, na posição I. Em seguida, ela continua a rolar, chocando-se com apenas um prego de cada linha subsequente e, dependendo de sua trajetória, poderá cair no recipiente, na posição II.

Sabe-se que a probabilidade de a bolinha se chocar ou com o prego localizado imediatamente à direita ou com o imediatamente à esquerda é igual a 1/2. 

Uma possível trajetória da bolinha até o recipiente está representada no esquema a seguir. 

A probabilidade de a bolinha cair no recipiente é igual a: 

(A) 1/4 (B) 3/8 (C) 5/16 (D) 7/12

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Solução: questão de matemática do Vestibular UERJ 2022, prova do dia 20/03/2022.

Vamos calcular a probabilidade (P) de a bolinha cair no recipiente por meio da fórmula:

P = E/U

E = a quantidade de eventos favoráveis, ou seja, a quantidade de caminhos nos quais a bolinha cai no recipiente;

U = a quantidade total de eventos possíveis.

Vamos iniciar pelo cálculo de U, perceba que U = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 2⁵ = 32.  

** Perceba, na figura 2 do enunciado, que quando a bolinha bate no último prego, na última linha, então ela ainda pode se deslocar para a esquerda ou para a direita.

Agora, vamos calcular E, perceba na ilustração a seguir que, de acordo com a figura 2 do enunciado,  para a bolinha cair dentro do recicipente, ela teria que chegar na última linha de pregos bantendo ou no terceiro ou no quarto prego (P3 ou P4).  Caso termine no P3, então a bolinha teria que cair para a sua esquerda, caso termine no P4, então teria que cair para a sua direita.

Agora, repare na figura a seguir que para cair dentro do recipiente, a bolinha precisa fazer exatamente 5 deslocamentos, sendo, obrigatoriamente 2 deslocamentos para a sua direita e 3 deslocamentos para a sua esquerda.

Repare, por exemplo, alguns dos caminhos possíveis:

 Direita, Direita, Esquerda, Esquerda, Esquerda

 Direita, Esquerda, Direita, Esquerda, Esquerda

 Esquerda, Esquerda, Esquerda, Direita, Direita

 ......   (etc)

Então, para contarmos essa quantidade de deslocamentos em que a bolinha cai exatamente dentro do recipiente, basta calcularmos a permutação com repetição:

P₅^(3,2)  =   (5)!   =  10
                    3!2!

** A grosso modo,é o mesmo que calcular a quantidade de anagramas de DDEEE.

>> Caso queira ver uma questão similar a esta, onde usamos o mesmo raciocínio e a mesma fórmula entre por aqui.

Já sabemos que E = 10 e que U = 32, finalmente, basta calcular P.

P = E/U 

P = 10/32

P = 5 / 16

Alternativa correta é a letra c).

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões de matemática da UERJ.

Um forte abraço e bons estudos.