(UFRJ 2014) Uma torneira, numa vazão constante, encheu um tanque de 240 litros em um certo tempo. Se sua vazão fosse aumentada em 20 litros por minuto e mantida constante, encheria o mesmo tanque em um minuto a menos. O tempo em minutos que a torneira levou para encher o tanque foi igual a: 

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

Solução: questão de matemática do Concurso Público para o cargo de Assistente em Administração da UFRJ, edital nº 390/2014,  banca: PR-4,  prova aplicada no dia 01/02/2015.

Para resolvermos essa questão, vamos utilizar a seguinte expressão para a velocidade de escoamento da água (V).  

V = (variação de volume) / (variação de tempo)

Similar a que utilizamos na física para calcular a velocidade média.

Nos dois casos, a variação de volume é de +240 litros, que é exatamente o volume do tanque.  Vamos denotar a variação de tempo por simplesmente "t".

V = 240 / t  (Equação I)

*** A título de curiosidade, quando a velocidade V = 120 litros por minuto, significa que o tempo de enchimento t daquele tanque de 240 litros será igual a 

120 = 240 / t
t = 240/120
t = 2 mintuos

Do enunciado: "se sua vazão fosse aumentada em 20 litros por minuto e mantida constante, encheria o mesmo tanque em um minuto a menos. "  Equacionando isto:

(V + 20) = 240 / (t-1)  (Equação II)

O comando da questão é obter apenas o valor de t.  A partir de agora, nós temos dois caminhos, podemos resolver esse sistema, ou pensar no seguinte: nós já temos as alternativas de resposta, então será mais fácil atribuir os valores nas equações e verificar qual é o correto.  

Repare que em todos os casos, nós temos que dividir 240 por um número "t" e depois pelo seu antecessor "t-1", temos que verificar se ao diminuir o t de uma unidade, então o V aumenta 20 unidades.  Podemos fazer isso facilmente nas alternativas de resposta, vamos ver:

A) t=2   (Falsa)

240/2 = 120
240/1 = 240  (falsa, pois esperávamos um aumento de 20 unidades e o aumento foi de 120 unidades)


B) 3 (Falsa)

240/3 = 80
240/2 = 120  (falsa, pois esperávamos um aumento de 20 unidades e o aumento foi de 40 unidades)

C) 4 (Verdadeira)

240/4 = 60
240/3 = 80  (verdadeira, pois 80 é igual a 60 + 20 , tivemos um aumento exato de 20 unidades)

** Note que com uma velocidade de enchimento de 60 litros por minuto, a torneira leva 4 minutos para encher o tanque.  Caso haja um aumento da velocidade em 20 litros por minuto, ou seja, para (60+20) = 80 litros por minuto, então ela vai encher o tanque com (4-1) = 3 minutos, exatamente conforme estabelecido no enunciado.  Então, podemos concluir que o tempo "t" em minutos que a torneira levou para encher o tanque foi igual a: 4 minutos.

Alternativa correta é a letra c).

E se estivéssemos em uma prova sem alternativas de resposta?  Poderíamos resolver o sistema a seguir:

V = 240 / t  (Equação I)
(V + 20) = 240 / (t-1)  (Equação II)

Vamos aplicar o valor de V da Equação I na Equação II.

(240/t + 20) = 240 / (t-1)
(240/t + 20) (t-1) = 240
240 + 20t - 240/t - 20 = 240
20t - 20 - 240/t = 0
20t² - 20t - 240 = 0
       t
20t² - 20t - 240 = 0
t² - t - 12 = 0

Vamos resolver essa equação do segundo grau usando a fórmula de Bháskara.

t = (-b ± √Δ) / 2a   e    Δ = b² - 4ac

Δ = (-1)² - 4(1)(-12)
Δ = 1 + 48
Δ = 49

t = (-b ± √Δ) / 2a
t = (1 ± 7) / 2
t = 4 ou t = -3

Só nos interessa o tempo positivo, portanto, t = 4 minutos.

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões de matemática da UFRJ.

Um forte abraço e bons estudos.