(Professor Docente I - Matemática - 2014 - Banca CEPERJ) Um poliedro convexo possui 12 faces, sendo 4 triangulares, 5 quadrangulares e 3 hexagonais. O número de vértices desse poliedro é igual a: 

A) 12 B) 13 C) 15 D) 25 E) 50

Solução: questão do concurso para professor de matemática da Secretaria de Educação do Rio de Janeiro.  Banca organizadora CEPERJ, 2014.

Para resolver essa questão, vamos utilizar a relação de Euler para poliedros convexos que relaciona o número de suas faces (F), arestas (A) e vértices (V) por meio da fórmula:

V + F = A + 2

V é o que queremos encontrar
F = 12

No cálculo de A, temos que levar em consideração que este poliedro convexo possui:
  • 4 faces triangulares; 
  • 5 faces quadrangulares; e 
  • 3 faces hexagonais.  

Então a quantidade de arestas deste poliedro será igual a 

A = (4 x 3 + 5 x 4 + 3 x 6) /2

Atenção:  temos que dividir essa soma por 2, uma vez que as arestas estão sendo contadas duas vezes.  Basta pensar no exemplo do cubo, ele tem 6 faces quadradas, então são (6 x 4)/2 = 12 arestas.  O cubo tem 12 arestas e não 24.  Você pode repetir este teste com uma pirâmide de base quadrada. Recomendamos estes poliedros, pois são fáceis de se fazer uma verificação, caso haja dúvidas.  Essa pirâmide tem uma face quadrada na  sua base e outras quatro faces triangulares:  (1 x 4 + 4 x 3)/2 = 8 arestas. 

Continuando o cáclulo de A.

A = (12 + 20 + 18) /2
A = 50/2
A = 25

Finalmente, basta aplicarmos os valores encontrados na relação de Euler para encontrarmos V.

V + F = A + 2
V + 12 = 25 + 2
V = 27 - 12
V = 15

Alternativa correta é a letra c).

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões anteriores da Seeduc-RJ.

Um forte abraço e bons estudos.