(Professor Docente I - Matemática - SEEDUC-RJ - 2011 - Banca CEPERJ) A figura abaixo mostra o polígono F, com todos os seus ângulos retos e as medidas de alguns lados dados em centímetros.

O polígono F gira em torno da reta r, que contém o seu maior lado produzindo um sólido de revolução. A área total desse sólido é: 

A) 60π
B) 64π 
C) 72π 
D) 76π 
E) 80π

Solução: questão de matemática proveniente do concurso para Professor de Matemática da Secretaria de Educação do Rio de Janeiro.  Banca organizadora CEPERJ, 2011.

Uma questão muito interessante de geometria espacial (sólidos de revolução), em primeiro lugar, vamos girar F em torno da reta r e com isso vamos obter um sólido geométrico formado por dois cilindros. 


Para fins de resolução, vamos considerar C1 como sendo o cilindro de baixo, o qual possui R1 = 4 e h1 = 3.  E consideraremos C2 como sendo o cilindro de cima, o qual possui R2 = 2 e h2 = 5.  Atente para o fato de que todas essas medidas estão em cm.

Para calcularmos a área total desse sólido, primeiramente, vamos calcular as áreas laterais (AL) de cada cilindro.

ALC1  = 2πR1 x h1 
ALC1  = 2π4 x 3
ALC1  = 24π cm²  

ALC2 = 2πR2 x h2 
ALC2 = 2π2 x 5
ALC2 = 20π cm²

Em segundo lugar, vamos calcular as áreas das bases.  Repare que teremos 3 bases distintas, vamos denominar suas respectivas áreas de S1, S2 e S3, conforme a ilustração a seguir:



S1 = π(R1)²
S1 = π(4)²
S1 = 16π cm²

S3 = π(R2)²
S3 = π(2)²
S3 = 4π cm²

E finalmente, S2  é a área de uma coroa circular.

S2 = S1  - S3 
S2 = 16π cm² - 4π cm²
S2 = 12π cm²

Note que com todas essas operações, a questão ficou bastante rica, utilizando vários conceitos da geometria espacial e geometria plana.  Finalmente, a área total desse sólido é igual a:

ALC1 + ALC2 + S1 + S2 + S3 
(24π + 20π + 16π + 12π + 4π) cm²
76π cm²

Alternativa correta é a letra d).

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões anteriores da Seeduc-RJ.

Um forte abraço e bons estudos.