(Colégio Naval 2022) Em uma pesquisa sobre prática de esportes realizada com alunos do Colégio Naval constatou-se que: 116 alunos praticam Esgrima ou Iatismo; 59 alunos praticam Esgrima ou Xadrez; e 58 alunos praticam Iatismo ou Xadrez. Dentre os praticantes de esportes, quantos praticam somente Xadrez?

(Colégio Naval 2022) Em uma pesquisa sobre prática de esportes realizada com alunos do Colégio Naval constatou-se que:  116 alunos praticam Esgrima ou Iatismo; 59 alunos praticam Esgrima ou Xadrez; e 58 alunos praticam Iatismo ou Xadrez.  Dentre os praticantes de esportes, quantos praticam somente Xadrez?

a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4

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Solução: Solução: questão de matemática do Concurso Público de Admissão ao Colégio Naval (CPACN/2022). Prova aplicada no dia 02/07/2022.

Uma questão bem interessante de Teoria dos Conjuntos, vamos ilustrar o diagrama de Venn deste problema, sendo:

x = quantidade de alunos que praticam somente xadrez (objetivo da questão)

y = quantidade de alunos que praticam somente iatismo

z = quantidade de alunos que praticam somente esgrima

O enunciado nos informa que 116 alunos praticam Esgrima ou Iatismo, isto quer dizer que o total de esportistas na região em azul é igual a 116. 

Agora, uma informação importante: 59 alunos praticam Esgrima ou Xadrez, isto quer dizer que o total de esportistas na região em verde é igual a 59. 

Podemos notar que da figura 2 (colorida em azul) para a figura 3 (colorida em verde), houve uma pequena mudança.  Na figura 2, o y estava na contagem (e o x não estava), já na figura 3 o y saiu para o x entrar na contagem.  E essa troca de y por x, fez o total cair de 116 para 59 (uma variação negativa de (59-116) = -57 unidades).   Vamos equacionar isto:

-y + x = -57 (multiplicamos todos por -1)

y - x = 57

y = x + 57

Aqui, temos uma conclusão importante: a quantidade de esportistas apenas de iatismo é igual a 57 unidades a mais que a quantidade de esportistas apenas de xadrez.

Agora, vamos trabalhar na última informação dada no enunciado, de que 58 alunos praticam Iatismo ou Xadrez, isto quer dizer que o total de esportistas na região em laranja é igual a 58. 

Novamente, podemos notar que da figura 3 (cor verde) para a figura 4 (cor laranja), houve uma pequena mudança.     Na figura 3 o z estava na contagem (e o y não estava), já na figura 4 o z saiu para o y entrar na contagem.  E essa troca de z por y, fez o total cair de 59 para 58 (uma variação negativa de (58-59) = -1 unidades).   Vamos equacionar isto:

-z + y = -1 (multiplicando todos por -1)

z - y = 1

z = y + 1

E como sabemos que y = x + 57, então vamos colocar z em função de x.

z = x + 57 + 1

z = x + 58

Aqui, temos uma nova conclusão importante, a quantidade de esportistas apenas de esgrima é de 58 unidades a mais que a quantidade de esportistas apenas de xadrez.  Vamos atualizar o diagrama com estes valores.

Sabemos que x é um número natural, ou seja, x só pode valer 0, 1, 2, 3, 4, ......

Sabemos também que a soma das áreas destacadas em azul claro e escuro vale 116, são os alunos que praticam Esgrima ou Iatismo.

Azul claro + Azul escuro = 116

(x + 58 + x + 57) + Azul escuro = 116

2x + 115 + Azul escuro = 116

Azul escuro = 1 - 2x

A quantidade de esportistas na área em azul escuro tem que ser um número natural (0,1,2,3, ....) , com isso o valor de x (que também é um número natural) só pode valer 0. 

Quando x = 0  Azul escuro = 1 - 2.0 = 1  (ok!) Quando x = 1  Azul escuro = 1 - 2 . 1 = 1 -2 = -1  (impossível) Quando x = 2  Azul escuro = 1 - 2 . 2 = 1 - 4 = -3  (impossível) (.......)

Este mesmo raciocínio pode ser aplicado nos conjuntos anteriormente ilustrados em verde e laranja.  Sempre chegaremos a conclusão que x tem que ser igual a 0.

Alternativa correta é a letra a).

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões anteriores do Colégio Naval.

Um forte abraço e bons estudos.