(Colégio Naval 2022) Em uma pesquisa sobre prática de esportes realizada com alunos do Colégio Naval constatou-se que:  116 alunos praticam Esgrima ou Iatismo; 59 alunos praticam Esgrima ou Xadrez; e 58 alunos praticam Iatismo ou Xadrez.  Dentre os praticantes de esportes, quantos praticam somente Xadrez?

a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4

Solução: Solução: questão de matemática do Concurso Público de Admissão ao Colégio Naval (CPACN/2022). Prova aplicada no dia 02/07/2022.

Uma questão bem interessante de Teoria dos Conjuntos, vamos ilustrar o diagrama de Venn deste problema, sendo:

x = quantidade de alunos que praticam somente xadrez (objetivo da questão)
y = quantidade de alunos que praticam somente iatismo
z = quantidade de alunos que praticam somente esgrima



O enunciado nos informa que 116 alunos praticam Esgrima ou Iatismo, isto quer dizer que o total de esportistas na região em azul é igual a 116. 


Agora, uma informação importante: 59 alunos praticam Esgrima ou Xadrez, isto quer dizer que o total de esportistas na região em verde é igual a 59. 


Podemos notar que da figura 2 (colorida em azul) para a figura 3 (colorida em verde), houve uma pequena mudança.  Na figura 2, o y estava na contagem (e o x não estava), já na figura 3 o y saiu para o x entrar na contagem.  E essa troca de y por x, fez o total cair de 116 para 59 (uma variação negativa de (59-116) = -57 unidades).   Vamos equacionar isto:

-y + x = -57 (multiplicamos todos por -1)
y - x = 57
y = x + 57

Aqui, temos uma conclusão importante: a quantidade de esportistas apenas de iatismo é igual a 57 unidades a mais que a quantidade de esportistas apenas de xadrez.

Agora, vamos trabalhar na última informação dada no enunciado, de que 58 alunos praticam Iatismo ou Xadrez, isto quer dizer que o total de esportistas na região em laranja é igual a 58. 

Novamente, podemos notar que da figura 3 (cor verde) para a figura 4 (cor laranja), houve uma pequena mudança.     Na figura 3 o z estava na contagem (e o y não estava), já na figura 4 o z saiu para o y entrar na contagem.  E essa troca de z por y, fez o total cair de 59 para 58 (uma variação negativa de (58-59) = -1 unidades).   Vamos equacionar isto:

-z + y = -1 (multiplicando todos por -1)
z - y = 1
z = y + 1

E como sabemos que y = x + 57, então vamos colocar z em função de x.

z = x + 57 + 1
z = x + 58

Aqui, temos uma nova conclusão importante, a quantidade de esportistas apenas de esgrima é de 58 unidades a mais que a quantidade de esportistas apenas de xadrez.  Vamos atualizar o diagrama com estes valores.

Sabemos que x é um número natural, ou seja, x só pode valer 0, 1, 2, 3, 4, ......

Sabemos também que a soma das áreas destacadas em azul claro e escuro vale 116, são os alunos que praticam Esgrima ou Iatismo.


Azul claro + Azul escuro = 116
(x + 58 + x + 57) + Azul escuro = 116
2x + 115 + Azul escuro = 116
Azul escuro = 1 - 2x

A quantidade de esportistas na área em azul escuro tem que ser um número natural (0,1,2,3, ....) , com isso o valor de x (que também é um número natural) só pode valer 0. 

Quando x = 0 
Azul escuro = 1 - 2.0 = 1  (ok!)

Quando x = 1 
Azul escuro = 1 - 2 . 1 = 1 -2 = -1  (impossível)

Quando x = 2 
Azul escuro = 1 - 2 . 2 = 1 - 4 = -3  (impossível)

(.......)

Este mesmo raciocínio pode ser aplicado nos conjuntos anteriormente ilustrados em verde e laranja.  Sempre chegaremos a conclusão que x tem que ser igual a 0.

Alternativa correta é a letra a).

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões anteriores do Colégio Naval.

Um forte abraço e bons estudos.