(Colégio Naval 2022) O símbolo do Grêmio Estudantil do Colégio Naval é composto por um círculo de raio = k√3, centro O, tangente ao lado BC e ao segmento MN (MN // BC), do triângulo equilátero ABC, cujo lado mede 6 cm, conforme a figura abaixo.


Determine o valor de k para que a soma das áreas do triângulo AMN e do círculo seja mínima, em cm.  (Utilize π = 3)

a) 4√3 / (9 + 4√3)
b) 9√3 / (18 + 8√3)
c) 5√3 / (9 + 4√3)
d) 11√3 / (18 + 8√3)
e) 6√3 / (9 + 4√3)

Solução: Solução: questão de matemática do Concurso Público de Admissão ao Colégio Naval (CPACN/2022). Prova aplicada no dia 02/07/2022.

Uma questão bem interessante de geometria plana (área do triângulo e área do círculo) envolvendo também a minimização de uma função do segundo grau (parábola) utilizando as coordenadas do vértice da parábola.

O objetivo da questão é encontrar o valor de k de modo a

Minimizar (Área do Círulo + Área do Triângulo AMN)

Para isso, precisamos colocar as duas áreas em função de k.

>> Área do círculo = π . raio² = 3 . (k√3)² = 3.k².3 = 9k²

>> Área do triângulo AMN = (base x altura) /2 

Agora, vamos ilustrar na figura as medidas das alturas dos dois triângulos:


Sabemos que a altura de um triângulo equilátero de lado L vale (L√3)/2 (caso necessário, faça uma revisão conferindo aqui como calcular altura e a área de um triângulo equilátero).  Deste modo, a altura do triângulo equilátero ABC de lado igual a 6 cm vale 3√3 cm.

Podemos observar que a altura (h) do triângulo AMN é igual a altura do triângulo ABC menos duas vezes o raio do círculo, vamos equacionar isto:

h = 3√3  -   2 (raio)
h = 3√3  -   2 (k√3)
h = √3 . (3 - 2k) 

A base do triângulo AMN é o segmento MN, podemos obter sua medida por meio da semelhança entre os dois triângulos da figura:

 BC  =  H 
MN       h

  6   =   3√3 
MN     √3 . (3 - 2k) 

  6   =       3   
MN     (3 - 2k) 

6 (3 - 2k) = 3 MN

MN = 2 (3 - 2k) 

Agora, já podemos encontrar a área do triângulo AMN em função de k.

Área do triângulo AMN = (MN x h) /2 = 

2 (3 - 2k) . √3 . (3 - 2k) 
                2

√3 . (3 - 2k) . (3 - 2k) 

√3 . [ 9 - 6k - 6k + 4k² ]

√3 . [ 9 - 12 k + 4k² ]

9√3 - 12√3.k + 4√3 k²

Finalmente, vamos para o objetivo final da questão:

Minimizar: Área do Círulo + Área do Triângulo AMN
Minimizar:  9k² + 9√3 - 12√3. k + 4√3 k²
Minimizar:  (9 +4√3) k²  - 12√3.k + 9√3


Note que o coeficiente "a" é positivo (a = 9 +4√3), portanto estamos diante de uma parábola cuja concavidade é voltada para cima (formato de U), logo ela terá um ponto de mínimo exatamente no seu vértice.  Como nosso objetivo é obter o valor de k que minimiza essa função, então vamos utilizar a fórmula do Xv = -b/2a.

Sejam,

a = 9 +4√3
b = - 12√3
c = 9√3

Então, 

K que minimiza a área = -b/2a = 

  - (- 12√3)  
2 . (9 +4√3)

     6√3     
 (9 +4√3)

Alternativa correta é a letra e).

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões anteriores do Colégio Naval.

Um forte abraço e bons estudos.