(EPCAR 2023) No triângulo da figura abaixo, o ângulo EAP mede 80º e PR e EC são bissetrizes dos ângulos EPA e AEP, respectivamente.

A medida do ângulo α , em graus, é igual a

a) 35°  b) 40°  c) 45°  d) 50°

Solução: questão de matemática da EPCAR (Escola Preparatória de Cadetes do Ar) - Exame de Admissão ao CPCAR 2023 (prova aplicada no dia 10/07/2022).

Uma interessante questão de geometria plana sobre cevianas.  Precisamos ter em mente que as bissetrizes PR e EC estão dividindo ao meio os ângulos  EPA e AEP.  Vamos ilustrar isso:




Uma vez que o ângulo EAP vale 80 °, então podemos atribuir um valor x para o ângulo AEP.  Fazendo isto, o ângulo EPA terá que valer (100 - x).  Isto porque a soma dos ângulos internos do triângulo AEP é igual a 180°.

(80) + (x) + (100 - x) = 180 (ok)

O ângulo ACE recebeu o valor de i. Deste modo, o ângulo PCE terá que valer (180 - i).  Isto porque a soma dos ângulos ACE + PCE = 180°.

Além disso, criamos o ponto O, encontro de PR e EC.  O que vamos fazer agora é calcular os somatórios dos ângulos internos dos triângulos EAC e OCP para encontrar α:

>> Somatório dos ângulos internos do triângulo EAC

x/2 + 80 + i = 180
x/2 + i = 100 (Equação I)

>> Somatório dos ângulos internos do triângulo OCP

α + (180 - i) + (100-x)/2 = 180
α + 180 - i + 100/2 - x/2 = 180
α - i + 50 - x/2 = 0
α =  x/2 + i - 50

Agora, vamos aplicar x/2 + i = 100

α =  100 - 50
α = 50°

Alternativa correta é a letra d).

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões anteriores da EPCAR.

Um forte abraço e bons estudos.