(Fuzileiro Naval 2023) A função polinomial f(x) = – 3x² +6x – 3 tem:
A) Seu máximo no ponto (1,0)
B) Seu máximo no ponto (0,1)
C) Seu mínimo no ponto (1,0)
D) Seu mínimo no ponto (0,1)
E) Não possui um ponto máximo
Solução: questão do Concurso ao Curso de Formação de Soldados Fuzileiros Navais Turmas I e II/2023, prova aplicada no dia 31/05/2022.
Nesta questão, trabalharemos com as coordenadas do vértice da parábola.
Em primeiro lugar, o ponto é de máximo ou de mínimo? Podemos notar que o coeficiente "a" da função do segundo grau vale –3.
Relembrando:
f(x) = – 3x² +6x – 3
a = –3
b = +6
c = –3
Como o coeficiente "a" é negativo, então a parábola tem sua concavidade voltada para baixo (formato de ∩). Com isso, a parábola terá no seu vértice um ponto de máximo.
Veja na ilustração a seguir de uma parábola qualquer com concavidade voltada para baixo (não necessariamente idêntica a f(x) desta questão):
Agora, vamos obter as coordenadas do vértice desta parábola.
Xv = –b/(2a)
Xv = –6/[2(–3)]
Xv = –6/–6
Xv = 1
Apenas pela análise das alternativas de resposta, podemos notar que Yv tem que ser igual a 0. Mesmo assim, como exercício, vamos encontrar Yv. Podemos fazer isso de duas formas:
I) Por meio da fórmula do Yv.
Yv = –(b² – 4ac)/(4a)
Yv = –[6² – 4(–3)(–3)]/[4(–3)]
Yv = –[36 – 36]/–12
Yv = 0/12
Yv = 0
II) também podemos obter Yv calculando f(Xv), ou seja, aplicando o valor de Xv encontrado na f(x).
f(Xv) = f(1) = – 3(1)² +6(1) – 3 = –3 + 6 – 3 = 0
Sendo assim, temos que (Xv, Yv) = (1,0)
Finalmente, podemos concluir que
A função polinomial f (x) = – 3x² +6x – 3 tem seu máximo no ponto (1,0).
Alternativa correta é a letra a).
Resumindo: 'a' é negativo, logo a parábola tem um ponto de máximo.
Calculando Xv = –b/2a = – 6/[2(–3)] = –6/–6 = 1. Aqui já achamos a letra (A) como opção correta. Calculando Yv = f(1) vamos confirmar encontrando Yv = 0.
Este problema também pode ser resolvido trabalhando com a f(x) na forma canônica da função do segundo grau (também conhecida como forma de vértice da função do segundo grau):
f(x) = a (x – Xv)2 + Yv
f(x) = – 3x² + 6x – 3
f(x) = –3(x² – 2x + 1)
f(x) = –3(x – 1) 2 + 0
E assim, observamos que a = –3 é negativo, portanto há um ponto de máximo em (Xv, Yv) = (1,0).
