(ESA 2023) Em uma instrução de orientação diurna, um aluno da Escola de Sargentos das Armas foi colocado na origem de um sistema cartesiano ortogonal 𝑂𝑥 𝑒 𝑂𝑦. Considerando que ele dê exatamente 4 passos, um de cada vez, nas direções norte (N) ou leste (L), quantas trajetórias ele poderá percorrer?

A) 32

B) 12

C) 4

D) 36

E) 16

Solução: questão de matemática da ESA (Escola de Sargentos das Armas) do Concurso de Admissão 2022 aos Cursos de Formação e Graduação de Sargentos 2023 – 24 . Prova aplicada no dia 04/09/2022.

Uma questão bem interessante de análise combinatória, onde trabalharemos com a fórmula da permutação com repetição.  Repare que o aluno vai dar 4 passos exatamente.  De acordo com o enunciado, o aluno pode escolher dar esses passos para o norte (N) ou para o leste (L), da forma como ele quiser, ou seja, pode dar todos os 4 passos para o norte, por exemplo, pode dar 1 passo para o norte e os outros 3 para o leste, dentre outros. 

Veremos a seguir que temos aí 5 cenários diferentes, os quais chamaremos simplesmente de I, II, III, IV e V, conforme detalhado abaixo:

I) 4 para norte e 0 para leste:   NNNN
II) 3 para norte e 1 para leste:   NNNL
III) 2 para norte e 2 para leste:   NNLL
IV) 1 para norte e 3 para leste :  NLLL
V) 0 para norte e 4 para leste:    LLLL

Note que os casos I e V são os mais fáceis, só existe uma única trajetória para cada um deles, ou seja

I) NNNN  (1 trajetória)
V) LLLL  (1 trajetória)

Agora, vamos olhar para o cenário II, repare que temos 3 passos para o norte e 1 passo para leste, mas o aluno pode escolher dar esses passos em ordens diferentes, por exemplo, 3 passos para o norte e 1 para o leste, ou então 1 passo para leste e depois mais 3 para o norte, dentre outros.  Podemos notar que existem 4 possibilidades de trajetórias diferentes, bem tranquilas de enumerarmos também, veja:

NNNL
NNLN
NLNN
LNNN

A mesma coisa acontece no cenário IV, também são 4 possibilidades de trajetórias, conforme ilustrado a seguir:

NLLL
LNLL
LLNL
LLLN

Todas até aqui foram tranquilas de listarmos, em casos com números maiores, vamos ter que calculá-las, sem listá-las, usando permutação com repetição, por meio da fórmula a seguir:

Pn(a,b)  =   (n)!   
                    a!b!

> n é o número total de passos (n=4)
> a é o número passos para norte
> b é o número de passos para o leste

Vamos usar essa fórmula só para calcular o cenário III mesmo, pois este vai dar um pouco mais de trabalho para listar.  No cenário III temos dois passos para o norte e dois para o leste.  Logo, temos que

n = 2 + 2 = 4
a = 2
b = 2

P4(2,2)  =   (4)!    =   6 
                    2!2!

Concluímos assim, que no cenário III, temos 6 trajetórias distintas, finalmente, basta somar a quantidade de trajetórias dos cinco cenários.

I)  1
II) 4
III) 6
IV) 4
V) 1

Total = 1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16 trajetórias distintas.

Alternativa correta é a letra e).

Curiosidade:  resolvemos a questão na parte inicial listando cada uma das trajetórias possíveis porque eram casos mais tranquilos.  Tivemos como objetivo ilustrar o passo a passo.  Quando você se acostuma com a estrutura, pode ir direto para a resolução aplicando as fórmulas:

I)  P4(4,0)  
II) P4(3,1)  
III) P4(2,2)  
IV) P4(1,3)  
V) P4(0,4)  

Total = P4(4,0) + P4(3,1) + P4(2,2) + P4(1,3) + P4(0,4)  

Total = 1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16

Uma questão com um caso similar a este caiu na prova do ENEM 2020, aproveite e confira também entrando por aqui.

Ou então, aproveite e continue praticando com mais questões anteriores da ESA.

Um forte abraço e bons estudos.