(EsPCEx 2022) Sejam λ um parâmetro real e ξ o sistema linear abaixo, com incógnitas a , b e c ,

É correto afirmar que 

[A] ξ será possível e determinado se λ = 0 ou λ = 1.
[B] ξ será possível e indeterminado se, e somente se, λ = 0 ou λ = 1.
[C] ξ será impossível se λ = –1 ou λ = 0.
[D] ξ será possível e indeterminado se λ = –1 ou λ = 0.
[E] ξ será impossível se, e somente se, λ = 0 ou λ = 1. 


Solução: questão de matemática da EsPCEx (Concurso de Admissão à Escola Preparatória de Cadetes do Exército - 2022). Prova aplicada no dia 18/09/2022.

Antes de resolvermos essa questão sobre discussão de sistemas lineares, vamos recordar as três classificações dos sistemas lineares.  

Sistema Possível e Determinado (SPD) - "admite uma única solução"   (D ≠ 0)
Sistema Possível e Indeterminado (SPI) - "admite infinitas soluções" (D = Dx = Dy = Dz = 0)
Sistema Impossível (SI) -  "não admite solução" (D=0 e pelo menos um deles Dx≠0 ou Dy ≠0 ou Dz ≠0)

-->  D é o determinante da matriz formada pelos coeficientes do sistema.
-->  Dx é o determinante da matriz que vamos obter a partir da matriz D substituindo a coluna dos coeficientes de x pela matriz coluna dos termos independentes.
--> Dy e Dz seguem o mesmo raciocínio usado para montar Dx.

Vamos agora para a solução da questão, em primeiro lugar, vamos calcular D usando a regra de Sarrus.

D = λ ³ - λ

Agora, vamos igualar λ ³ - λ = 0 

λ (λ² - 1) = 0
λ = 0  ou  λ² - 1 = 0

λ² - 1 = 0
λ² = 1
λ = ± √1
λ = ± 1

Podemos concluir que quando λ assumir quaisquer valores que sejam diferentes de -1, 0, 1, então o valor de D será diferente de 0, e com isso o sistema será um SPD.

Já quando λ = -1, ou λ = 0, ou também λ = 1, então o valor de D será igual a 0, e neste caso, o sistema só poderá ser um SPI ou um SI, que é o que vamos analisar nos próximos passos.

Quando λ = -1   o sistema linear será

-a - b + c = 3
a - b + c = -1
a + b - c = 1

Vamos multiplicar os dois lados da primeira equação por -1 para vermos uma coisa interessante.

-1 . ( -a - b + c) = - 1 . (3)
a + b - c = -3

Agora, vamos escrever novamente o sistema, repare bem nas equações 1 e 3.

a + b - c = -3
a - b + c = -1
a + b - c = 1

Visualmente, já podemos perceber que esse sistema é impossível, pois a primeira equação diz que (a + b - c) vale -3 e a terceira equação diz que o mesmo (a + b - c) vale 1.  Isso é impossível.

Outra forma de observar isso é somando essas duas equações.  Fazendo isso, chegaríamos em
0 = 4 (impossível)

Registramos então que quando λ = -1 o sistema é SI.



Quando λ = 0   o sistema linear será

   - b + c  = 3
a       + c = 0
a + b       = 1

Somando as equações I e III, vamos obter ( a + c = 4) e repetindo a segunda equação, o sistema se reduz a

a + c = 4
a + c = 0


Novamente, duas equações contraditórias, este sistema também é impossível.

Registramos então que quando λ = 0 o sistema é SI.


Quando λ = 1   o sistema linear será

a - b + c = 3
a + b + c = 1
a + b + c = 1

Perceba que as equações 2 e 3 são idênticas.  Para este sistema, temos que D = Dx = Dy = Dz = 0 , pois todas as matrizes terão as duas últimas linhas com elementos iguais a 1.  Das propriedades dos determinantes, quando temos uma linha ou coluna que seja múltipla de outra, então o determinante será nulo.  O mesmo vale para linha ou coluna com todos os seus elementos iguais.



Registramos então que quando λ = 1 o sistema é SPI.


Finalmente,  podemos concluir que 

λ ≠ (-1,0,1) , temos um SPD.
λ = -1 , temos um SI.
λ = 0 , temos um SI.
λ = 1 , temos um SPI.

Alternativa correta é a letra c).

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões anteriores da EsPCEx.

Um forte abraço e bons estudos.