(UFPR 2023) As únicas raízes reais do polinômio 𝒑(𝒙) dado pelo determinante abaixo são –2 e –1.


Sabendo-se que o polinômio 𝒒(𝒙) = 𝒂𝒙2 + 𝒃𝒙 + 𝒄 (com 𝒂, 𝒃 e 𝒄 constantes) tem as mesmas raízes reais de 𝒑(𝒙), é correto afirmar que: 

Solução: questão de matemática do Vestibular da Universidade Federal do Paraná - UFPR 2023 . Prova aplicada no dia 23/10/2022.

O problema nos informa que o polinômio 𝒒(𝒙) possui duas raízes reais distintas, são elas -2 e -1, isto quer dizer que 

Δ > 0  ou seja b² - 4ac > 0

Além disso, q(x) é um polinômio de grau 2 e podemos escrevê-lo em sua forma fatorada.

q(x) = a . (x - x1) (x - x2)

Sendo x1 e x2 as raízes de q(x)

q(x) = a . (x - (-2)) (x - (-1))
q(x) = a . (x + 2) (x + 1)

Agora, vamos trabalhar no polinômio p(x), calculando o determinante da matriz usando a Regra de Sarrus.


p(x) = det = -q(x) - x(x+1)(x+2) + (x+1)(x+2) + x²(x+1)(x+2)

Vamos substituir q(x) por a.(x+2)(x+1)

p(x) = - a.(x+2)(x+1) - x(x+1)(x+2) + (x+1)(x+2) + x²(x+1)(x+2)

Note que (x+2)(x+1) é um fator comum em todos os termos de p(x), sendo assim, vamos colocá-lo em evidência.

p(x) = (x+2)(x+1)[-a - x + 1 + x²]

Reorganizando, temos que

p(x) = (x+2)(x+1)[x² -x + 1 - a]

Chegamos até a expressão acima para p(x), como ele só tem duas raízes reais {-2,-1}, então [x² -x + 1 - a] não pode ter raízes reais, para que isso ocorra, precisamos que Δ < 0.

b² - 4 . a. c  < 0

Sejam os coeficientes:

a = 1
b = -1
c = (1-a)  ** atenção nesta parte para não confundir os coeficientes

b² - 4 . a. c  < 0
(-1)² - 4 . (1) . (1-a) < 0
1 - 4 + 4a < 0 
4a < 3
a < 3/4

Alternativa correta é a letra c).

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões de matemática da UFPR.

Um forte abraço e bons estudos.