(UFPR 2023) Os ângulos internos de um polígono convexo de 20 lados estão em progressão aritmética com razão de 4° (graus).  Qual é o produto em graus entre o maior ângulo interno e o menor ângulo interno desse polígono?

a) 20800.
b) 22600.
c) 24800.
d) 26600.
e) 26800.

Solução: questão de matemática do Vestibular da Universidade Federal do Paraná - UFPR 2023 . Prova aplicada no dia 23/10/2022.

A soma dos ângulos internos (Si) de um polígono convexo de n lados é dada pela fórmula:

Si = (n-2) x 180

Aplicando n = 20, temos que

Si = (20-2) x 180
Si = 18 x 180  (vamos manter assim)

Agora, vamos trabalhar com as fórmulas de PA.

Fórmula da soma dos n primeiros termos de uma PA.

Sn =  (a1 + an)  . n
                2
Já sabemos, do cálculo anterior, que a soma dos 20 ângulos internos do polígono convexo vale 18 x 180.  Sendo assim, temos que 

18 x 180 = (a1 + a20) . 20/2
18 x 180 = (a1 + a20) . 10
18 x 18 = (a1 + a20)
a20 + a1 = 324  (Equação I)

Fórmula do n-ésimo termo da PA

an = a1 + (n-1) . r
a20 = a1 + (20-1) . 4
a20 - a1 = 76  (Equação II)

Chegamos ao sistema linear a seguir:

a20 + a1 = 324  (Equação I)
a20  - a1 =   76  (Equação II)

Vamos somar as duas equações:

2 . a20 = 324 + 76
2 . a20 = 400
a20 = 400 / 2
a20 = 200

Aplicando este valor na equação I, temos que

200 + a1 = 324
a1 = 324 - 200
a1 = 124

Finalmente: a1 x a20 = 124 x 200 = 24 800º

Alternativa correta é a letra c).

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões de matemática da UFPR.

Um forte abraço e bons estudos.