(UFPR 2023) Os ângulos internos de um polígono convexo de 20 lados estão em progressão aritmética com razão de 4° (graus). Qual é o produto em graus entre o maior ângulo interno e o menor ângulo interno desse polígono?
(UFPR 2023) Os ângulos internos de um polígono convexo de 20 lados estão em progressão aritmética com razão de 4° (graus). Qual é o produto em graus entre o maior ângulo interno e o menor ângulo interno desse polígono?
a) 20800.
b) 22600.
c) 24800.
d) 26600.
e) 26800.
Solução: questão de matemática do Vestibular da Universidade Federal do Paraná - UFPR 2023 . Prova aplicada no dia 23/10/2022.
A soma dos ângulos internos (Si) de um polígono convexo de n lados é dada pela fórmula:
Si = (n-2) x 180
Aplicando n = 20, temos que
Si = (20-2) x 180
Si = 18 x 180 (vamos manter assim)
Agora, vamos trabalhar com as fórmulas de PA.
Fórmula da soma dos n primeiros termos de uma PA.
Sn = (a1 + an) . n
2
Já sabemos, do cálculo anterior, que a soma dos 20 ângulos internos do polígono convexo vale 18 x 180. Sendo assim, temos que
18 x 180 = (a1 + a20) . 20/2
18 x 180 = (a1 + a20) . 10
18 x 18 = (a1 + a20)
a20 + a1 = 324 (Equação I)
Fórmula do n-ésimo termo da PA
an = a1 + (n-1) . r
a20 = a1 + (20-1) . 4
a20 - a1 = 76 (Equação II)
Chegamos ao sistema linear a seguir:
a20 + a1 = 324 (Equação I)
a20 - a1 = 76 (Equação II)
Vamos somar as duas equações:
2 . a20 = 324 + 76
2 . a20 = 400
a20 = 400 / 2
a20 = 200
Aplicando este valor na equação I, temos que
200 + a1 = 324
a1 = 324 - 200
a1 = 124
Finalmente: a1 x a20 = 124 x 200 = 24 800º
Alternativa correta é a letra c).
Aproveite e continue praticando com uma lista de questões de matemática da UFPR.
Um forte abraço e bons estudos.