(ENEM 2022) A World Series é a decisão do campeonato norte-americano de beisebol. Os dois times que chegam a essa fase jogam, entre si, até sete partidas. O primeiro desses times que completar quatro vitórias é declarado campeão. 

Considere que, em todas as partidas, a probabilidade de qualquer um dos dois times vencer é sempre 1/2. 

Qual é a probabilidade de o time campeão ser aquele que venceu a primeira partida da World Series?

a) 35/64
b) 40/64
c) 42/64
d) 44/64
e) 52/64

Solução: questão de matemática do ENEM 2022,  prova aplicada no dia 20/11/2022.

Vamos considerar que os jogadores são A e B e que foi o jogador A quem já venceu a primeira partida, de modo que agora o que nós queremos saber é qual a probabilidade de A se sagrar campeão nas próximas 6 partidas.  

Sejam, 

PC a probabilidade de A ser campeão nas próximas 6 partidas;
PNC a probabilidade de A não ser campeão nas próximas 6 partidas.

Temos que a soma de PC e PNC tem que valer 100% 

PC + PNC = 100%
PC + PNC = 1

Isolando PC, temos que 

PC = 1 - PNC   (Equação I)

O objetivo da questão é calcular PC, mas vamos optar por obter PNC e aplicá-la na equação acima para obter PC.  Vamos fazer isso porque a quantidade de situações será menor.   No final da resolução, você terá também a resolução obtendo PC diretamente.

Em quantas e quais situações o jogador A não será campeão?  São 3 situações, conforme listaremos e calcularemos cada uma de suas probabilidades a seguir.  No final, somaremos as 3 e teremos PNC que finalmente será aplicada à equação I para obtermos PC.

**Detalhe importante, das 7 partidas, a primeira A já venceu, então faltam as partidas 2, 3, 4, 5, 6, 7 mas que a partir de agora, nessa resolução, vamos nos referir a elas como sendo as partidas 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Situação 1) Não será campeão nas 4 próximas partidas, para isso tem que perder as 4 partidas seguintes.

* Vamos usar P para representar uma partida perdida por A  e usar V para representar uma partida vencida por A.
** A probabilidade P do jogador A perder uma única partida é de 1/2, assim como a probabilidade V do jogador A vencer uma única partida é de 1/2.

Tem que ocorrer a sequência de jogos a seguir:

P P P P

Essa probabilidade é calculada por (1/2) x (1/2) x (1/2) x (1/2)  = (1/2)4 = 1/16

Situação 2) Não será campeão nas 5 próximas partidas, para isso tem que perder 4 partidas e ganhar uma delas.

* Atenção, dos próximos 5 jogos, ele irá ganhar um jogo, mas obviamente que não pode ser o quinto desses jogos, pois caso perca os 4 primeiros desses jogos, a final já será encerrada.
** Esses casos são fáceis de listar.
*** Acredito que essa listagem vai te ajudar a entender o esquema.

V P P P P
P V P P P
P P V P P
P P P V P

A probabilidade de cada caso desses é dada por (1/2)5  = 1/32

Como são 4 casos, então multiplicamos 4 x 1/32 = 4/32

Reforçando:  por que não podemos ter o caso a seguir?

P P P P V

Esse não pode, pois caso perca 4 jogos já nem haverá mais o 5º.  A competição já estará encerrada pelas regras do campeonato. 

Situação 3) Não será campeão nas 6 próximas partidas, para isso tem que perder 4 partidas e ganhar 2.

* Novamente, temos que fixar uma perda P na 6ª partida, e aí sobram 5 jogos, sendo que neles vai acontecer 2V e 3P para aí fazermos uma permutação com repetição.  Ilustrando

( 5 primeiros jogos) | (6º jogo)
(        2 V e 3P       )     P

Para calcular a quantidade total, usamos a permutação com repetição:

5! / (2!3!) = 10

Veja que este é mais difícil de listar as vitórias e derrotas do que o caso anterior, mas o que está acontecendo em todos os casos é uma permutação com repetição.  Conforme os números vão ficando maiores é mais difícil listar e aí usamos a fórmula.

Com 6 jogos, a probabilidade de ocorrer cada um desses casos é de (1/2)6  = 1/64, como temos 10 casos assim, então multiplicamos por 10.

10 x (1/64) = 10/64

A título de curiosidade, vamos listar os 10 casos a seguir, mas você não precisa fazer isso numa situação de prova, deixamos a lista apenas para facilitar a compreensão:

V V P P P P
V P V P P P
V P P V P P
V P P P V P
P V V P P P
P V P V P P
P V P P V P
P P V V P P
P P V P V P
P P P V V P

Note que todas elas têm uma perda de A sempre fixada no último jogo.  Daí sobram 5 vagas para permutarmos 2V e 3P.

Agora, para calcular a PNC basta somar as 3 probabilidades que encontramos.

(1/16) + (4/32) + (10/64)
4/64 + 8/64 + 10/64
22/64

Encontramos que a PNC vale 22/64, com este valor, vamos finalmente encontrar a PC por meio da equação I.

PC = 1 - PNC
PC = 1 - (22/64)
PC = (64/64) - (22/64)
PC = 42/64

Alternativa correta é a letra c).

OBS1: a seguir, apresentaremos uma resolução bem direta, praticamente sem comentários, apenas com os cálculos.

Cálculo de PNC

Caso 1) (P P P P) --> (1/2)4 
Caso 2) (3P e 1V) (1 P fixa) --> 4 x (1/2)5 
Caso 3) (3P e 2V) (1 P fixa) --> 5!/(3!2!)  x (1/2)6  = 10 x (1/2)6

PNC = (1/2)4  + 4 x (1/2)5 + 10 x (1/2)6 = 22/64

PC = 1 - PNC
PC = 1 - (22/64)
PC = 42/64

Curiosidade 2:  se você quisesse optar pelo caminho de calcular direto a probabilidade de A ser campeão, bastaria calcular as probabilidades de cada situação a seguir e depois somá-las.

Como A já ganhou a primeira e faltam 6, então ele precisa de mais 3 vitórias.  Vamos primeiro ver quais são estes casos.

Caso 1) (V V V )  são 3 jogos
Caso 2) (2V e 1P) (V fixo)  são 4 jogos
Caso 3) (2V e 2P) (V fixo)  são 5 jogos
Caso 4) (2V e 3P) (V fixo)  são 6 jogos

Vamos calculá-las:

Caso1) (V V V ) - > (1/2)3 = 1/8
Caso 2) (2V e 1P) (V fixo) -> [3!/2!] X (1/2)4 = 3/16
Caso 3) (2V e 2P) (V fixo) -> [4!/(2!2!)] X (1/2)5 = 6/32
Caso 4) (2V e 3P) (V fixo) -> [5!/(2!3!)] X (1/2)6 = 10/64

E somamos as 4

(1/8) + (3/16) + (6/32) + (10/64) = 42/64  (exatamente conforme calculamos no primeiro método)

Note que PC = 42/64 e PNC = 22/64 e a soma deles é igual a 1.

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões anteriores do ENEM.

Um forte abraço e bons estudos.