(ENEM 2022) A World Series é a decisão do campeonato norte-americano de beisebol. Os dois times que chegam a essa fase jogam, entre si, até sete partidas. O primeiro desses times que completar quatro vitórias é declarado campeão. Considere que, em todas as partidas, a probabilidade de qualquer um dos dois times vencer é sempre 1/2. Qual é a probabilidade de o time campeão ser aquele que venceu a primeira partida da World Series?
(ENEM 2022) A World Series é a decisão do campeonato norte-americano de beisebol. Os dois times que chegam a essa fase jogam, entre si, até sete partidas. O primeiro desses times que completar quatro vitórias é declarado campeão.
Considere que, em todas as partidas, a probabilidade de qualquer um dos dois times vencer é sempre 1/2.
Qual é a probabilidade de o time campeão ser aquele que venceu a primeira partida da World Series?
a) 35/64
b) 40/64
c) 42/64
d) 44/64
e) 52/64
Solução: questão de matemática do ENEM 2022, prova aplicada no dia 20/11/2022.
Vamos considerar que os jogadores são A e B e que foi o jogador A quem já venceu a primeira partida, de modo que agora o que nós queremos saber é qual a probabilidade de A se sagrar campeão nas próximas 6 partidas.
Sejam,
PC a probabilidade de A ser campeão nas próximas 6 partidas;
PNC a probabilidade de A não ser campeão nas próximas 6 partidas.
Temos que a soma de PC e PNC tem que valer 100%
PC + PNC = 100%
PC + PNC = 1
Isolando PC, temos que
PC = 1 - PNC (Equação I)
O objetivo da questão é calcular PC, mas vamos optar por obter PNC e aplicá-la na equação acima para obter PC. Vamos fazer isso porque a quantidade de situações será menor. No final da resolução, você terá também a resolução obtendo PC diretamente.
Em quantas e quais situações o jogador A não será campeão? São 3 situações, conforme listaremos e calcularemos cada uma de suas probabilidades a seguir. No final, somaremos as 3 e teremos PNC que finalmente será aplicada à equação I para obtermos PC.
**Detalhe importante, das 7 partidas, a primeira A já venceu, então faltam as partidas 2, 3, 4, 5, 6, 7 mas que a partir de agora, nessa resolução, vamos nos referir a elas como sendo as partidas 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Situação 1) Não será campeão nas 4 próximas partidas, para isso tem que perder as 4 partidas seguintes.
* Vamos usar P para representar uma partida perdida por A e usar V para representar uma partida vencida por A.
** A probabilidade P do jogador A perder uma única partida é de 1/2, assim como a probabilidade V do jogador A vencer uma única partida é de 1/2.
Tem que ocorrer a sequência de jogos a seguir:
P P P P
Essa probabilidade é calculada por (1/2) x (1/2) x (1/2) x (1/2) = (1/2)4 = 1/16
Situação 2) Não será campeão nas 5 próximas partidas, para isso tem que perder 4 partidas e ganhar uma delas.
* Atenção, dos próximos 5 jogos, ele irá ganhar um jogo, mas obviamente que não pode ser o quinto desses jogos, pois caso perca os 4 primeiros desses jogos, a final já será encerrada.
** Esses casos são fáceis de listar.
*** Acredito que essa listagem vai te ajudar a entender o esquema.
V P P P P
P V P P P
P P V P P
P P P V P
A probabilidade de cada caso desses é dada por (1/2)5 = 1/32
Como são 4 casos, então multiplicamos 4 x 1/32 = 4/32
Reforçando: por que não podemos ter o caso a seguir?
P P P P V
Esse não pode, pois caso perca 4 jogos já nem haverá mais o 5º. A competição já estará encerrada pelas regras do campeonato.
Situação 3) Não será campeão nas 6 próximas partidas, para isso tem que perder 4 partidas e ganhar 2.
* Novamente, temos que fixar uma perda P na 6ª partida, e aí sobram 5 jogos, sendo que neles vai acontecer 2V e 3P para aí fazermos uma permutação com repetição. Ilustrando
( 5 primeiros jogos) | (6º jogo)
( 2 V e 3P ) P
Para calcular a quantidade total, usamos a permutação com repetição:
5! / (2!3!) = 10
Veja que este é mais difícil de listar as vitórias e derrotas do que o caso anterior, mas o que está acontecendo em todos os casos é uma permutação com repetição. Conforme os números vão ficando maiores é mais difícil listar e aí usamos a fórmula.
Com 6 jogos, a probabilidade de ocorrer cada um desses casos é de (1/2)6 = 1/64, como temos 10 casos assim, então multiplicamos por 10.
10 x (1/64) = 10/64
A título de curiosidade, vamos listar os 10 casos a seguir, mas você não precisa fazer isso numa situação de prova, deixamos a lista apenas para facilitar a compreensão:
V V P P P P
V P V P P P
V P P V P P
V P P P V P
P V V P P P
P V P V P P
P V P P V P
P P V V P P
P P V P V P
P P P V V P
Note que todas elas têm uma perda de A sempre fixada no último jogo. Daí sobram 5 vagas para permutarmos 2V e 3P.
Agora, para calcular a PNC basta somar as 3 probabilidades que encontramos.
(1/16) + (4/32) + (10/64)
4/64 + 8/64 + 10/64
22/64
Encontramos que a PNC vale 22/64, com este valor, vamos finalmente encontrar a PC por meio da equação I.
PC = 1 - PNC
PC = 1 - (22/64)
PC = (64/64) - (22/64)
PC = 42/64
Alternativa correta é a letra c).
OBS1: a seguir, apresentaremos uma resolução bem direta, praticamente sem comentários, apenas com os cálculos.
Cálculo de PNC
Caso 1) (P P P P) --> (1/2)4
Caso 2) (3P e 1V) (1 P fixa) --> 4 x (1/2)5
Caso 3) (3P e 2V) (1 P fixa) --> 5!/(3!2!) x (1/2)6 = 10 x (1/2)6
PNC = (1/2)4 + 4 x (1/2)5 + 10 x (1/2)6 = 22/64
PC = 1 - PNC
PC = 1 - (22/64)
PC = 42/64
Curiosidade 2: se você quisesse optar pelo caminho de calcular direto a probabilidade de A ser campeão, bastaria calcular as probabilidades de cada situação a seguir e depois somá-las.
Como A já ganhou a primeira e faltam 6, então ele precisa de mais 3 vitórias. Vamos primeiro ver quais são estes casos.
Caso 1) (V V V ) são 3 jogos
Caso 2) (2V e 1P) (V fixo) são 4 jogos
Caso 3) (2V e 2P) (V fixo) são 5 jogos
Caso 4) (2V e 3P) (V fixo) são 6 jogos
Vamos calculá-las:
Caso1) (V V V ) - > (1/2)3 = 1/8
Caso 2) (2V e 1P) (V fixo) -> [3!/2!] X (1/2)4 = 3/16
Caso 3) (2V e 2P) (V fixo) -> [4!/(2!2!)] X (1/2)5 = 6/32
Caso 4) (2V e 3P) (V fixo) -> [5!/(2!3!)] X (1/2)6 = 10/64
E somamos as 4
(1/8) + (3/16) + (6/32) + (10/64) = 42/64 (exatamente conforme calculamos no primeiro método)
Note que PC = 42/64 e PNC = 22/64 e a soma deles é igual a 1.
Aproveite e continue praticando com uma lista de questões anteriores do ENEM.
Um forte abraço e bons estudos.