(UNICAMP 2023) Em um sorteio com cartelas numeradas de 0001 a 2000, João decidiu comprar todas as cartelas em que a numeração exibisse os números 2 e 5, e nenhuma a mais. Por exemplo, João comprou as cartelas 1205 e 0025, mas não comprou as cartelas 0514 e 2000. 

Considere as afirmações: 

I) João comprou 108 cartelas. 

II) Se ao invés das cartelas com 2 e 5, João tivesse comprado as cartelas com 1 e 5, ele teria comprado menos cartelas. 

III) João comprou 18 cartelas que possuem o número 3. 

Assinale a alternativa correta: 

a) Todas as afirmações são verdadeiras.
b) Apenas a afirmação I é verdadeira.
c) Apenas a afirmação II é verdadeira.
d) Apenas as afirmações I e III são verdadeiras.

Solução: questão de matemática do Vestibular UNICAMP 2023. Prova aplicada no dia 06/11/2022.

Vamos julgar as alternativas passo a passo:

I) João comprou 108 cartelas. (VERDADE)

De acordo com as regras do enunciado, as cartelas estão limitados entre 0001 e 2000, então os números 2 e 5 não podem estar ocupando a primeira posição, que ficará reservada apenas aos números 0 ou 1.

Como as cartelas possuem 4 dígitos, então só os três últimos dígitos podem receber o 2 e 5.

As cartelas têm que exibir pelo menos um número 2 e pelo menos um número 5.    Deste modo, vamos dividir a contagem em dois blocos: 

Bloco I: o primeiro dígito é 0 ou 1, e depois só aparece um número 2, um número 5 e outro dígito diferente de 2 e 5, para este dígito só temos 8 casos possíveis (0,1,3,4,6,7,8,9).

Bloco II:  o primeiro dígito é 0 ou 1, e depois só aparece um número 2, um número 5, e um terceiro número que tem que ser ou 2 ou 5. 

  • Contagem do Bloco I

(0 ou 1) (2) (5) (8 possíveis) → 2 x 8 = 16
(0 ou 1) (2) (8 possíveis) (5) → 2 x 8 = 16
(0 ou 1) (8 possíveis) (2) (5) → 2 x 8 = 16

E também há a inversão de posição do 2 com o 5.

(0 ou 1) (5) (2) (8 possíveis) → 2 x 8 = 16
(0 ou 1) (5) (8 possíveis) (2) → 2 x 8 = 16
(0 ou 1) (8 possíveis) (5) (2) → 2 x 8 = 16

O que totaliza 16 x 6 = 96 cartelas.

Entendida a contagem, basta visualizar que temos 2 x 8 x 6 = 96
Onde 2 é a quantidade de números possíveis no primeiro dígito, 8 é a quantidade de números possíveis no dígito que não recebe o 2 e o 5, e finalmente o 6 é quantidade de configurações diferentes que o 2 e 5 podem ocupar as posições (2,3 e 4).

  • Contagem no Bloco II

No bloco II, o primeiro dígito é 0 ou 1 e os três dígitos seguintes são apenas 2 e 5.  Essa quantidade será igual a 2 x 6.  Vamos ilustrar passo a passo a seguir:

(0 ou 1) (2) (5) (5)  = 2 casos
(0 ou 1) (5) (2) (5)  = 2 casos
(0 ou 1) (5) (5) (2)  = 2 casos
(0 ou 1) (5) (2) (2)  = 2 casos
(0 ou 1) (2) (5) (2)  = 2 casos
(0 ou 1) (2) (2) (5)  = 2 casos

Total = 2 x 6 = 12 

Finalmente, somamos Bloco I + Bloco II = 96 + 12 = 108. 
  
Concluímos assim, que a afirmação I está correta.

II) Se ao invés das cartelas com 2 e 5, João tivesse comprado as cartelas com 1 e 5, ele teria comprado menos cartelas.  (FALSA) 

Ele teria comprado mais, uma vez que o maior número possível é o 2000, então por exemplo, nos casos de 2 e 5 não existe o 2555, nem o 2550, dentre outros.

Já nos casos de 1 e 5, como o 1 pode assumir o primeiro dígito, então existe o 1555, o 1550, por exemplo, dentre várias outras possibilidades de cartelas que não podem ser formada com o 2 e 5 exatamente porque nenhum deles pode assumir o primeiro dígito.  Já na formação onde a obrigatoriedade é ter 1 e 5 essa quantidade de cartelas aumenta.

III) João comprou 18 cartelas que possuem o número 3. (FALSA)

O número 3 só pode aparecer no 2°, 3° ou 4° dígito. O primeiro dígito é sempre 0 ou 1.  Os outros dois dígitos restantes devem ter os valores 2 e 5.  Vamos visualizar a seguir que esta quantidade é igual a 2 x 3 x 2.

(0 ou 1)  (3) (2) (5)  = 2 casos
(0 ou 1)  (2) (3) (5) = 2 casos
(0 ou 1)  (2) (5) (3) = 2 casos

Total de 6 casos.

E também com a troca de posição entre 2 e 5

(0 ou 1)  (3) (5) (2)  = 2 casos
(0 ou 1)  (5) (3) (2) = 2 casos
(0 ou 1)  (5) (2) (3) = 2 casos

Total de 6 casos.

Temos então um total de 6 + 6 = 12 casos de cartelas que possuem o 3, o 2 e o 5.

Simplesmente um 2 x 3 x 2 = 12.
Ou seja, o primeiro dígito pode assumir 2 valores, o número 3 pode ocupar 3 dígitos diferentes e além disso, o 2 e 5 podem aparecer de 2 maneiras diferentes, são elas na ordem 25 ou 52. 

Podemos concluir que a única afirmação correta é a I.  Portanto, a alternativa correta é a letra b).

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões de matemática da UNICAMP.

Um forte abraço e bons estudos.