(ENEM 2022 Reaplicação/PPL) Sete países americanos, Argentina, Brasil, Canadá, Chile, Estados Unidos, Paraguai e Uruguai; e sete países europeus, Portugal, Espanha, França, Inglaterra, Itália, Alemanha e Suíça, decidem criar uma comissão com representantes de oito desses países, objetivando criar políticas de incentivo e regulação do turismo entre eles. Na hipótese de criação da comissão, serão escolhidos aleatoriamente quatro representantes de países das Américas e quatro representantes de países europeus, não podendo estar na comissão dois representantes de um mesmo país. 

Qual é a probabilidade de o Brasil e a França pertencerem a essa comissão?

a) 1/182
b) 1/49
c) 1/4
d) 1/13
e) 16/49

Solução: questão de matemática do ENEM 2022 - Reaplicação/PPL,  prova aplicada no dia 11/01/2023.

Questão de probabilidade envolvendo análise combinatória, para calcular a probabilidade (P), vamos utilizar a fórmula:  P = E/U.

E = quantidade de eventos favoráveis
U = total de eventos (universo)

Neste problema, vamos calcular as quantidades de comissões utilizando a fórmula da combinação, isto porque uma comissão, por exemplo, formada por Brasil, Argentina, Canadá e Chile é a mesma quando formada por Argentina, Brasil, Chile e Canadá, a ordem não importa, então é um problema de combinação.   A fórmula da combinação é 

C n,p = n! / [p!(n-p)!]

Existe um total de 7 países americanos e a comissão terá 4 desses países, logo a quantidade de combinações possíveis dos países americanos é dada por 

C 7,4 = 7! / [4!(7-4)!] = (7 . 6 . 5 . 4!) / (4!3!) =  7 . 5 (guardamos assim)

Existe um total de 7 países europeus e a comissão terá 4 desses países, logo a quantidade de combinações possíveis dos países europeus é igual a que já foi calculada no passado anterior, vale 

C 7,4 = 7 . 5

Finalmente, temos que a quantidade de comissões possíveis de serem formadas com 8 países, sendo 4 americanos e 4 europeus, de um total disponível de 7 países americanos e 7 países europeus é igual ao produto 


C 7,4    x   C 7,4
7 . 5 . 7 . 5 

Para o cálculo da probabilidade, temos que U =  7 . 5 . 7 . 5   (vamos guardar assim, pois vai facilitar os cálculos)

Agora, vamos calcular quanto vale E, ou seja, a quantidade de eventos favoráveis, são as comissões formadas por Brasil e França.  Para encontrar essa quantidade, o que temos que fazer é o seguinte:

Fixamos o Brasil em uma das vagas para países americanos, e com isso sobram outras 3 vagas, a serem ocupadas pelos 6 países americanos que sobram.  Deste modo, a quantidade de combinações dos países americanos será dada por C6,3.

C 6,3 = 6! / [3!(6-3)!] = 6! / [3! 3!] = 6 . 5 . 4 . 3! / [3! 3!] = 5 . 4

A mesma coisa vamos fazer com a França, vamos fixá-la em uma das vagas para países europeus, e com isso sobram outras 3 vagas, a serem ocupadas pelos 6 países europeus que sobram.  Deste modo, a quantidade de combinações dos países europeus será de C6,3.

Finalmente, a quantidade de comissões nas quais Brasil e França participam juntos é igual a 

C 6,3 x C 6,3 
5 . 4 . 5 . 4  

Para o cálculo da probabilidade, temos que E =  5 . 4 . 5 . 4     (vamos guardar assim, pois vai facilitar os cálculos)

Finalmente, já podemos calcular a probabilidade

P = E/U
P = (5 . 4 . 5 . 4) / (7 . 5 . 7 . 5)
P = (5 . 4 . 5 . 4) / (7 . 5 . 7 . 5)
P = 16/49

Alternativa correta é a letra e).

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões anteriores do ENEM.

Um forte abraço e bons estudos.