(ENEM 2022 Reaplicação/PPL) Uma indústria de sucos utiliza uma embalagem no
formato de prisma reto de base quadrada, com aresta da
base de medida a e altura de medida h, ambas de mesma
unidade de medida, como representado na figura.
Deseja-se criar uma linha de produção para
uma nova embalagem de igual formato, mas que
deverá ter uma capacidade igual ao triplo da atual.
A altura da nova embalagem será igual a 4/3
da altura
da embalagem atual. As arestas da base da nova
embalagem serão denominadas de x.
Qual a relação de dependência entre a medida x da
nova aresta da base e a medida a da aresta atual?
A) x = a
B) x = 3a
C) x = 9a
D) x = 3a/2
E) x = a√3
Solução: questão de matemática do ENEM 2022 - Reaplicação/PPL, prova aplicada no dia 11/01/2023.
O volume do prisma reto de base quadrada é igual a área da base vezes altura do prisma.
Seja V1, o volume da primeira embalagem, então temos que
V1 = a . a . h
V1 = a²h
V2 é o volume da segunda embalagem, a ser desenvolvida, e que deverá ser o triplo de V1.
V2 = 3 . V1
V2 = 3a²h (Equação 1)
A altura da nova embalagem será igual a 4/3 da altura da embalagem atual, ou seja, será igual a (4/3)h
As arestas da base da nova embalagem serão denominadas de x.
Além disso, a nova embalagem tem formato de prisma reto de base quadrada, logo seu volume é dado por
V2 = x . x . (4/3)h
V2 = (4/3)x²h (Equação 2)
Agora, para encontrarmos a relação de dependência entre a medida x da nova aresta da base e a medida a da aresta atual, basta igualarmos as equações 1 e 2.
(4/3)x²h = 3a²h
4x² = 9a²
x² = (9a²)/4
x = ± √[(9a²)/4]
Sabemos que tanto x quanto a são valores positivos, então ficamos apenas com o valor positivo.
x = √[(9a²)/4]
x = 3a/2
Alternativa correta é a letra d).
