(Banrisul 2023) Um equipamento no valor de R$ 3.680.000,00 será financiado em 4 parcelas, à taxa de juro de 10% ao ano, no regime de juros compostos. A primeira parcela, no valor de R$ 1.000.000,00, será paga no ato da compra; as segunda e terceira parcelas serão iguais entre si, pagas 1 e 2 anos após a compra, respectivamente. A última parcela, no valor de R$ 1.331.000,00, será paga 3 anos após a compra.

Considerando-se os fluxos de pagamentos apresentados e a equivalência financeira no regime de juros compostos, o valor, em reais, de cada uma das parcelas intermediárias (2a e 3a parcelas), será de, aproximadamente,

(A) 900.000,00 (B) 950.000,00 (C) 970.000,00 (D) 980.000,00 (E) 990.000,00

Solução: questão de matemática financeira do concurso de 2023 do Banrisul, cargo: Escriturário, Banca examinadora: CESGRANRIO. Prova aplicada no dia 22/01/2023.

Note que a primeira parcela, no valor de R$ 1.000.000,00, será paga no ato da compra, de modo que o valor a ser financiado será de (R$ 3.680.000,00 - R$ 1.000.000,00) = R$ 2.680.000,00

A partir daí o cliente irá pagar,

a 1ª parcela no valor de X reais dali a 1 ano;

a 2ª parcela no valor de X reais dali a 2 anos;

a 3ª parcela no valor de R$ 1.331.000,00 reais dali a 3 anos;

O que vamos fazer agora é trazer a valor presente, as parcelas X, X e R$ 1.331.000,00 e igualar a R$ 2.680.000,00

Como trazer um valor futuro a valor presente?

Basta trabalharmos com a fórmula tradicional de juros compostos

VF = VP (1 + i)^t

Sendo,
VF = Valor futuro
VP = Valor presente
i = taxa
t = tempo (número de períodos)

Basicamente, o que vamos fazer agora é isolar o VP nessa equação, e teremos:

VP = VF / (1 + i)^t

Vamos iniciar calculando o VP da 3ª parcela, no valor de R$ 1.331.000,00 que será paga 3 anos após a compra.

VP = 1 331 000 / (1,10)³

VP = 1 331 000 / 1,331

VP = R$ 1.000.000,00

**Curiosidade: você já deve ter ouvido falar, ou até mesmo já fez uma antecipação de parcela de financiamento de imóvel, veículos ou outros bens. Quando você antecipa uma parcela, você paga um valor menor, isto porque está acontecendo exatamente essa prática de trazer um valor futuro a valor presente, levando-se em conta uma taxa e um número de períodos.

Agora, vamos repetir esse cálculo para as parcelas de valor X reais.

1ª parcela

VP = X / (1,10)¹

VP = X / 1,10

2ª parcela

VP = X / (1,10)²

VP = X / 1,21

A soma das 3 parcelas trazidas a valor presente é de

(X / 1,10) + (X / 1,21) + (1 000 000)

E vamos igualar esta expressão ao valor financiado de R$ 2.680.000,00

Sendo assim, resolvendo a equação a seguir, vamos encontrar o valor de X.

(X / 1,10) + (X / 1,21) + (1 000 000) = 2 680 000

X [ ( 1/1,10) + ( 1/1,21) ] = 2 680 000 - 1 000 000

** Numa situação de trabalho, fora do contexto de prova, essa conta seria feita com uma calculadora, planilha eletrônica, ou em um programa de computador. O que vamos fazer a seguir é aproximar estas frações. Ao final dessa resolução, você verá uma outra proposta de resolução, utilizando soma de frações e decomposição em fatores primos.

1/1,10 ≅ 0,909

1/1,21 ≅ 0,826

X [ 0,909 + 0,826 ] ≅ 1 680 000

X [ 1,735 ] ≅ 1 680 000

X ≅ 1 680 000 / 1,735

X ≅ [ 1,68 / 1,735 ] x 10⁶

X ≅ 0,968 x 10⁶

X ≅ R$ 968 000,00

Alternativa correta é a letra c) .

Você pode resolver essa questão também trabalhando com soma de frações, bastaria substituir o

1/1,10 por 100/110
1/1,21 por 100/121

X [ ( 1/1,10) + ( 1/1,21) ] = 1 680 000
X [ ( 100/110) + (100/121) ] = 1 680 000

Nessa parte, você precisaria realizar a soma das duas frações acima, caso necessário, faça uma revisão do tema soma de frações nesta questão onde detalhamos com mais calma. Aqui, vamos resolver de forma mais direta. Vamos resolver apenas a soma das duas frações, e depois levar o resultado para a equação.

( 100/110) + (100/121)

O MMC (mínimo múltiplo comum) entre 110 e 121 é igual a 11. 11 . 10

Detalhe: o número 11 . 11 . 10 = 1210, entretanto vamos trabalhar com este número decomposto em fatores primos e sem a necessidade de decompor o 10 em (2.5), vamos manter dessa forma.

11 . 100 + 10 . 100

11. 11 . 10

100 ( 11 + 10 )

11. 11 . 10

10 ( 21 )

11. 11

Agora, vamos levar este valor para a equação

X [ ( 100/110) + (100/121) ] = 1 680 000

X [ (21 . 10) / (11 . 11) ] = 1 680 000

X [ (21 ~~. 10~~) / (11 . 11) ] = 1 680 000

X [ (21) / (11 . 11) ] = 168 000

X [ (21) / (11 . 11) ] = 168 . 10³

X = 168 . 11 . 11 . 10³

Para simplificar essa divisão, vamos decompor o 21 e o 168 em fatores primos:

21 = 3 . 7

168 é divisível por 3, pois a soma 1 + 6 + 8 = 15, valor que é divisível por 3. Dividindo 168 por 3 teremos 56 e sabemos que 56 = 7 . 8. De modo que

168 = 3 . 7 . 8 ( note que 8 poderia ser decomposto em 2³, mas vamos deixar assim, pois já é suficiente)

Agora, vamos reescrever a fração.

X = 3 . 7 . 8 . 11 . 11 . 10³

3 . 7

X = 8 . 11 . 11 . 10³

X = 8 . 121 . 10³

X = 968 . 10³

X = 968 000

Este é o valor exato para X, ou seja, é o valor exato para as duas parcelas intermediárias da questão. É o mesmo valor encontrado quando utilizamos uma calculadora.

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões anteriores do Banrisul.

Um forte abraço e bons estudos.

Como trazer um valor futuro a valor presente?

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