(EEAR CFS 1/2024) Em um plano cartesiano, os pontos A, B e C estão sobre a reta de equação y = x, sendo que B está entre A e C. Se as abscissas de A e C são, respectivamente, 0 e 6, e se

 AC  =  AB 
 AB      BC

então a ordenada de B é ____ .

a) 4 (√6  - 1)
b) 3 (√5  - 1)
c) 4
d) 3

Solução: questão de matemática da EEAR (Escola de Especialistas da Aeronáutica) do Exame de Admissão ao Curso de Formação de Sargentos da Aeronáutica CFS 1/2024. Prova aplicada no dia 04/06/2023.

Uma questão de geometria analítica bem interessante da EEAR, vamos resolvê-la de duas maneiras.  Na primeira, vamos utilizar somente geometria analítica, já na segunda resolução vamos utilizar o número de ouro:  (1 + √5)/2  .

Em todas elas, precisamos encontrar as medidas dos segmentos AB e BC.  Para fazer isso, vamos ilustrar o plano cartesiano, a reta y = x e os pontos A, B e C, conforme os valores dados no enunciado.


O enunciado nos informa que A,B e C estão sobre a reta y = x.  Sobre esta reta, os pontos possuem abscissa igual a ordenada.  Por exemplo, dado um valor x = 100, o valor de y = x = 100.  Isto quer dizer que se as abscissas de A e C são, respectivamente, 0 e 6,  então as suas ordenadas possuem os mesmos valores.  Marcamos então os pontos A (0,0) e C (6,6).  Sabemos que B é um ponto sobre esta reta e que está entre A e C, é a única informação que temos sobre ele, sendo assim, vamos considerar que a abscissa de B vale k e deste modo sua ordenada também valerá k.  Com isso, marcamos sobre a reta y = x o ponto B de coordenadas (k, k).  Lembre-se, nosso objetivo é encontrar o valor da ordenada de B que é igual a k.

Com estas informações ilustradas no gráfico, podemos encontrar as medidas de AC, AB e BC utilizando o Teorema de Pitágoras.  Alternativamente, você poderia utilizar a fórmula da distância entre dois pontos, que utiliza como recurso o Teorema de Pitágoras, ou também visualizar que essas distâncias tratam-se de diagonais de quadrados.

>> Cálculo de AC

AC² = 6² + 6²
AC² = 36 + 36
AC² = 2 . 36
AC = 6√2   

>> Cálculo de AB

AB² = k² + k²
AB² = 2 k²
AB = k√2

>> Cálculo de BC 

Vamos encontrá-lo subtraindo AC - AB

BC = AC - AB
BC = 6√2  -  k√2
BC = (6 - k) √2

Nos dois métodos de resolução, você precisaria desses conceitos de geometria analítica para obter essas medidas.  A partir daqui, podemos trabalhar de duas maneiras, primeiramente vamos aplicar estes valores na relação do enunciado e com isso encontraremos k.

 AC  =  AB 
 AB       BC

 6√2  =        k√2     
 k√2       (6 - k) √2

6  =        k     
k       (6 - k) 

6 . (6 - k) = k²
36 - 6k = k²
k² + 6k - 36 = 0

Chegamos a esta equação do segundo grau, vamos encontrar o valor de k utilizando a tradicional fórmula de Bhaskara.

k = (-b ± √Δ)/2a

Vamos primeiro encontrar √Δ

Δ = b² - 4ac 
Δ = 6² - 4 . 1 . (-36)
Δ = 36 + 4 . 36
Δ = 36 (1 + 4)
Δ = 36 (5)
√Δ = 6√5

Agora, aplicamos na fórmula:

k = (-b ± √Δ)/2a
k = (-6 ± 6√5)/2
k = -3 ± 3√5

O valor que nos interessa é o k positivo, logo ficamos apenas com

k = -3 + 3√5
k = 3 (-1 + √5)

Alternativa correta é a letra b).

Uma outra possibilidade de resolução seria utilizando o número de ouro.  

"Dois valores positivos estão em razão áurea se sua razão é igual à razão da sua soma pela maior das quantidades".  

Fonte:   https://pt.wikipedia.org/wiki/Propor%C3%A7%C3%A3o_%C3%A1urea  

Visitado em 19/06/2023

Note que a proporção 

 AC  =  AB  = φ
 AB       BC

Sendo φ = 1 + √5
                            2

Neste caso, vamos trabalhar apenas com

  AC   = 1 + √5
  AB           2 

6√2 = 1 + √5
k√2        2

6 = 1 + √5
k        2

12 = k ( 1 + √5)

k =      12      
       (√5  + 1)

Vamos racionalizar, multiplicando esta fração por  (√5  - 1)/(√5  - 1) 

k =      12        *   (√5 - 1)  
       (√5 + 1)       (√5 - 1)

k =  12 (√5  - 1)  
        (√5)² - (1)²

k = 12 (√5  - 1)
         5 - 1

k = 12 (√5  - 1)
            4

k = 3 (√5  -1)

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões anteriores da EEAR. 

Um forte abraço e bons estudos.