(EPCAR 2024) Dois agrimensores, situados em lados opostos de uma montanha e em planos que diferem entre si de 1 km de altura, efetuam a medida da altura dessa montanha segundo suas visões. 

O desenho abaixo ilustra essa situação com as respectivas medidas.

Considere que a medição dos ângulos α e β foi realizada em pontos situados nos planos como mostra a figura e que  tg α . tg β = 1/2

A partir de tais considerações, é possível afirmar que a altura da montanha observada em ① , em km, é um número

a) primo.
b) divisível por 4.
c) igual a metade da altura da montanha se observada em ②.
d) igual a terça parte da altura da montanha se observada em ②.

Solução: questão de matemática da EPCAR (Escola Preparatória de Cadetes do Ar) - Exame de Admissão ao CPCAR 2024 (prova aplicada no dia 02/07/2023).

Nosso objetivo é encontrar a altura da montanha observada em ① , vamos reforçá-la de vermelho, atribuindo a ela um valor h qualquer.

Das relações trigonométricas no triângulo retângulo, sabemos que

tangente de α = (cateto oposto) / (cateto adjacente)

tg α =   h   
                6
Também podemos obter o valor da tg β 

tg β =   h+1   
                 10

O enunciado nos informa que  

tg α . tg β = 1/2

 h   .   h + 1   =   1 
 6         10            2

 h² + h  =  1 
   60            2

h² + h = 60/2
h² + h = 30
h² + h - 30 = 0

Resolvendo esta equação do segundo grau pela fórmula de Bhaskara:

Δ = b² - 4ac
Δ = (1)² - 4(1)(-30)
Δ = 1 + 120
Δ = 121
√Δ = 11

h = (-b ± √Δ) / 2a
h = (-1 ± 11) / 2(1)

h1 = (-1 + 11)/2 = 5
h2 = (-1 - 11)/2 = - 6

Note que a altura h é um valor positivo, logo, descartamos o -6 e ficamos apenas com h = 5.


Antes de julgar as alternativas de resposta, é possível fazer uma prova real bem tranquila:

tg α = h/6
tg α = 5/6

tg β = (h+1)/10 
tg β = (5+1)/10 
tg β = 6/10  

Vamos aplicar estes valores em

 tg α . tg β = 1/2

 5  .  6  =  1 
 6    10     2
 5  .  6  =  1 
 6    10     2
 5   =  1 
10      2
 1   =  1 
 2        2


Confirmamos assim que a altura da montanha observada em ① , em km, é igual a 5, que é um número primo.

Alternativa correta é a letra a).

Obs: como exercício você pode julgar as demais alternativas de resposta, note que a alternativa b) é falsa, pois 5 não é divisível por 4.  Além disso, a altura observada em ② é igual a 5 + 1 = 6 km, com este valor, você poderá verificar que as alternativas c) e d) também são falsas.

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões anteriores da EPCAR.

Um forte abraço e bons estudos.