(EPCAR 2024) Os administradores de uma indústria fizeram o levantamento dos valores recebidos com os lucros obtidos através da diferença entre as vendas e os custos de produção, ano a ano, ao longo de m décadas.

O auge nos lucros aconteceu em t décadas e, com a crise no setor, foi necessário encerrar as atividades em k décadas, pois os lucros zeraram.

As vendas V, em função de m, são dadas por 

V(m) = - (3/8) m² + 3m + 60 e os custos C, também em função de m, são dados por 

C(m) = (9/8) m² - 9m + 30, com V e C em milhares de dólares americanos.

A diferença entre k e t, nessa ordem, em décadas, é igual a

a) 4 b) 6 c) 8 d) 10

Solução: questão de matemática da EPCAR (Escola Preparatória de Cadetes do Ar) - Exame de Admissão ao CPCAR 2024 (prova aplicada no dia 02/07/2023).

Uma questão sobre funções do segundo grau em um contexto empresarial bem interessante.  Vamos obter a função do lucro por meio da subtração entre vendas e custos.

L(m) = V(m) - C(m)
L(m) = - (3/8) m² + 3m + 60 - [ (9/8) m² - 9m + 30 ]
L(m) = - (3/8) m² + 3m + 60 - (9/8) m² + 9m - 30
L(m) = - (12/8) m² + 12m + 30
L(m) = - (3/2) m² + 12m + 30

Obs: o gráfico do lucro tem o formato de uma parábola de concavidade voltada para baixo, formato de ∩ , isto porque seu coeficiente a é negativo (a = -3/2).  Isto quer dizer que a parábola possui um ponto de máximo exatamente sobre seu vértice. Vamos ver mais adiante que podemos obter as coordenadas do vértice dessa parábola.

Do enunciado: "O auge nos lucros aconteceu em t décadas e, com a crise no setor, foi necessário encerrar as atividades em k décadas, pois os lucros zeraram."

t é o valor de m que maximiza o lucro
k é o valor de m que vai zerar o lucro

Note que m é um valor que está representando décadas, portanto é um número positivo.

>> Obtendo t

Para maximizar o lucro, basta encontrar o valor da abscissa do vértice desta parábola, ou seja, encontrar o Xv utilizando a fórmula:

Xv = -b/2a

a = -3/2
b = 12

Xv = -12/[2.(-3/2)]
Xv = -12 / -3
Xv = 4

Guardamos a informação de que o auge do lucro aconteceu em t = 4 décadas.

Agora, vamos obter k que é o valor de m que vai zerar o lucro.  Para fazer isso, vamos igualar L(m) = 0 e resolver a equação do segundo grau.

- (3/2) m² + 12m + 30 = 0

Para simplificá-la, vamos multiplicar os dois lados da equação por 2/3

(2/3) . [ - (3/2) m² + 12m + 30 ] = 0 . (2/3)
- m² + 8 m + 20 = 0

Resolvendo pela fórmula de Bhaskara:

Δ = b² - 4ac
Δ = (8)² - 4(-1)(20)
Δ = 64 + 80
Δ = 144
√Δ = 12

m = (-b ± √Δ) / 2a
m = (-8 ± 12) / 2(-1)
m = (-8 ± 12) / -2

m1 = 4/-2 = -2
m2 = -20/-2 = 10

O valor que nos interessa é o valor positivo, logo, quando m = 10 quer dizer que o lucro zerou, então guardamos a informação de que foi necessário encerrar as atividades em k = 10 décadas, pois os lucros zeraram.

E já podemos, finalmente, calcular a diferença entre k e t, nessa ordem, em décadas, que é igual a

k - t = 10 - 4 =  6 

Alternativa correta é a letra b).

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões anteriores da EPCAR.

Um forte abraço e bons estudos.