(UECE 2023.2) Ao adicionarmos um metro a cada uma das arestas de um cubo cuja medida da aresta é 𝛼 metros, temos um novo cubo. Se a diferença entre o volume deste novo cubo e o volume do cubo inicial é 271 m³, então, a medida, em metros, da aresta 𝛼 do cubo inicial é igual a 

A) 10. B) 7. C) 9. D) 8.

Solução: questão de matemática do Vestibular da Universidade Estadual do Ceará (UECE) 2023.2, prova de conhecimentos gerais da 1ª Fase, aplicada no dia 30/04/2023.

Para resolver essa questão de geometria espacial, vamos calcular o volume do cubo por meio da fórmula:

Volume = (aresta)³

O volume inicial do cubo (Vi) é igual a 

Vi = 𝛼³

Já o volume do novo cubo (Vf) é igual a

Vf = (𝛼 + 1)³ 

Vamos desenvolver esse produto notável

Vf = 𝛼³ + 3𝛼².1 + 3𝛼.1² + 1³
Vf = 𝛼³ + 3𝛼² + 3𝛼 + 1

A diferença entre o volume deste novo cubo e o volume do cubo inicial é 271 m³

Vf - Vi = 271
𝛼³ + 3𝛼² + 3𝛼 + 1 - 𝛼³ = 271
3𝛼² + 3𝛼 + 1 = 271
3𝛼² + 3𝛼 + 1 - 271 = 0
3𝛼² + 3𝛼 - 270 = 0
𝛼² + 𝛼 - 90 = 0

Podemos resolver essa equação do segundo grau utilizando a tradicional fórmula de Bhaskara.  Entretanto, vamos utilizar as Relações de Girard para soma e produto das raízes de uma equação do segundo grau.

A soma das raízes vale -b/a = -1/1 = -1
O produto das raízes vale c/a = -90/1 = -90
Note que podemos escrever -90 como sendo (9).(-10)  e podemos notar que a soma 9 + (-10) dá -1

Logo, as raízes da equação do segundo grau são 9 ou -10.  Como 𝛼 representa a medida da aresta de um cubo, então ficamos apenas com a solução positiva, ou seja, 𝛼 = 9 e descartamos 𝛼 = -10.

Alternativa correta é a letra c).

Obs:  é possível fazer uma prova real bem tranquila.  Vi = 9³ = 729.  Vf = (9+1)³ = 10³ = 1000.  E a diferença Vf - Vi = 1000 - 729 = 271 m³.

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões de matemática do Vestibular da UECE.

Um forte abraço e bons estudos.