(UECE 2023.2) Ao adicionarmos um metro a cada uma das arestas de um cubo cuja medida da aresta é 𝛼 metros, temos um novo cubo. Se a diferença entre o volume deste novo cubo e o volume do cubo inicial é 271 m³, então, a medida, em metros, da aresta 𝛼 do cubo inicial é igual a
(UECE 2023.2) Ao adicionarmos um metro a cada uma das arestas de um cubo cuja medida da aresta é 𝛼 metros, temos um novo cubo. Se a diferença entre o volume deste novo cubo e o volume do cubo inicial é 271 m³, então, a medida, em metros, da aresta 𝛼 do cubo inicial é igual a
A) 10. B) 7. C) 9. D) 8.
Solução: questão de matemática do Vestibular da Universidade Estadual do Ceará (UECE) 2023.2, prova de conhecimentos gerais da 1ª Fase, aplicada no dia 30/04/2023.
Para resolver essa questão de geometria espacial, vamos calcular o volume do cubo por meio da fórmula:
Volume = (aresta)³
O volume inicial do cubo (Vi) é igual a
Vi = 𝛼³
Já o volume do novo cubo (Vf) é igual a
Vf = (𝛼 + 1)³
Vamos desenvolver esse produto notável
Vf = 𝛼³ + 3𝛼².1 + 3𝛼.1² + 1³
Vf = 𝛼³ + 3𝛼² + 3𝛼 + 1
A diferença entre o volume deste novo cubo e o volume do cubo inicial é 271 m³
Vf - Vi = 271
𝛼³ + 3𝛼² + 3𝛼 + 1 - 𝛼³ = 271
3𝛼² + 3𝛼 + 1 = 271
3𝛼² + 3𝛼 + 1 - 271 = 0
3𝛼² + 3𝛼 - 270 = 0
𝛼² + 𝛼 - 90 = 0
Podemos resolver essa equação do segundo grau utilizando a tradicional fórmula de Bhaskara. Entretanto, vamos utilizar as Relações de Girard para soma e produto das raízes de uma equação do segundo grau.
A soma das raízes vale -b/a = -1/1 = -1
O produto das raízes vale c/a = -90/1 = -90
Note que podemos escrever -90 como sendo (9).(-10) e podemos notar que a soma 9 + (-10) dá -1
Logo, as raízes da equação do segundo grau são 9 ou -10. Como 𝛼 representa a medida da aresta de um cubo, então ficamos apenas com a solução positiva, ou seja, 𝛼 = 9 e descartamos 𝛼 = -10.
Alternativa correta é a letra c).
Obs: é possível fazer uma prova real bem tranquila. Vi = 9³ = 729. Vf = (9+1)³ = 10³ = 1000. E a diferença Vf - Vi = 1000 - 729 = 271 m³.
Aproveite e continue praticando com uma lista de questões de matemática do Vestibular da UECE.
Um forte abraço e bons estudos.