(UFPR 2024) Ana quer descobrir a senha do celular de seu irmão Carlos, a qual é formada por uma sequência de quatro dígitos numéricos dentre 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9. Ela sabe que o irmão sempre usa, em suas senhas, os três dígitos de sua residência: 4, 6 e 8. Recentemente, ela descobriu que o número formado pela senha é ímpar. De acordo com essas informações, quantas possibilidades Ana deve considerar para descobrir a senha de Carlos? 

A) 8 B) 11 C) 15 D) 24 E) 30

Solução: questão de matemática do Vestibular da Universidade Federal do Paraná - UFPR 2024. Prova aplicada no dia 22/10/2023.

A senha possui 4 dígitos numéricos dentre { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9} e ela forma um número ímpar, isto quer dizer que ela precisa terminar em 1,3, 5, 7 ou 9.  Podemos notar que existem 5 casos possíveis.  Vamos gravar esse número 5 que será multiplicado pelo próximo que vamos encontrar a seguir.

Uma vez que a senha possui 4 dígitos e já sabemos que ela precisa terminar em 1, 3 , 5 , 7 ou 9, então quer dizer que os três primeiros dígitos devem conter os números 4 , 6 e 8, isto porque Carlos sempre adiciona estes números nas suas senhas.

Sendo assim, os três primeiros dígitos serão ocupados por todas as permutações dos 3 números {4,6,8}, ou seja, temos uma permutação simples de 3 elementos.  A fórmula da permutação simples de n elementos é dada por 

Pn = n!

Sendo n = 3, então temos que

P3 = 3! = 3 x 2 x 1 = 6


Como essa quantidade é pequena, não é difícil listar todos casos.  Você não precisa fazer isso durante a resolução.  Apenas para ilustrar, vamos listar todas as permutações possíveis.

4 6 8
4 8 6
6 4 8
6 8 4
8 4 6
8 6 4


Finalmente, nós precisamos multiplicar 6 pelo número 5, pois existem 5 algarismos ímpares possíveis para o último dígito.  Ou seja, o resultado final é igual a 6 x 5 = 30

De acordo com essas informações, o total de possibilidades que Ana deve considerar para descobrir a senha de Carlos é igual a 30.

Alternativa correta é a letra e).

Resolvendo de forma mais direta, teríamos basicamente

P3  x 5
3! x 5
6 x 5
30

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões de matemática da UFPR.

Um forte abraço e bons estudos.