(ENEM 2023) O mastro de uma bandeira foi instalado perpendicularmente ao solo em uma região plana. Devido aos fortes ventos, três cabos de aço, de mesmo comprimento, serão instalados para dar sustentação ao mastro. Cada cabo de aço ficará perfeitamente esticado, com uma extremidade num ponto P do mastro, a uma altura h do solo, e a outra extremidade, num ponto no chão, como mostra a figura.

(ENEM 2023) O mastro de uma bandeira foi instalado perpendicularmente ao solo em uma região plana. Devido aos fortes ventos, três cabos de aço, de mesmo comprimento, serão instalados para dar sustentação ao mastro. Cada cabo de aço ficará perfeitamente esticado, com uma extremidade num ponto P do mastro, a uma altura h do solo, e a outra extremidade, num ponto no chão, como mostra a figura.

Os cabos de aço formam um ângulo α com o plano do chão. 

Por medida de segurança, há apenas três opções de instalação:

• opção I: h = 11 m e α = 30°
• opção II: h = 12 m e α = 45°
• opção III: h = 18 m e α = 60°

A opção a ser escolhida é aquela em que a medida dos cabos seja a menor possível. 

Qual será a medida, em metro, de cada um dos cabos a serem instalados?

a) 22√3
         3
b) 11√2
c) 12√2
d) 12√3
e) 22

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Solução: questão de matemática do ENEM 2023,  prova aplicada no dia 12/11/2023.

Uma questão interessante de geometria plana, onde utilizaremos as relações trigonométricas no triângulo retângulo.  Vamos denotar por c, a medida, em metro, dos cabos de aço e vamos adicionar à figura do enunciado mais informações.  

No triângulo retângulo ABP, podemos encontrar o valor de c em termos de h e α.  Das relações trigonométricas no triângulo retângulo, temos que 

sen α = (cateto oposto) / (hipotenusa)
sen α = PB / PA
sen α = h / c

c . sen α = h

c = h / sen α

Com essa expressão, podemos analisar as três opções em busca daquela em que c terá o menor valor possível.  A partir de agora, precisamos conhecer os valores do seno de 30°, 45° e 60°.

Caso necessário, faça uma revisão sobre relações trigonométricas no triângulo retângulo com uma tabela com os valores de seno, cosseno e tangente dos ângulos de 30°, 45° e 60°.

• opção I: h = 11 m e α = 30°

c = 11 / (sen 30°)

c = 11 / (1/2)

c = 11 x 2

c = 22 m

• opção II: h = 12 m e α = 45°

c = 12 / (sen 45°)

c = 12 / (√2 / 2)
c = 12 x (2 / √2)

c = 24/√2

Vamos racionalizar essa fração multiplicando-a por √2/√2

c =   24  *  √2 
          √2      √2

c = 24√2
         2

c = 12√2 m

• opção III: h = 18 m e α = 60°

c = 18 / (sen 60°)

c = 18 / (√3 / 2)

c = 18 x (2/√3)
c = 36/√3

Vamos racionalizar essa fração multiplicando-a por √3/√3

c =   36  *  √3 
          √3      √3

c = 36√3
         3

c = 12√3 m

Agora, temos que encontrar dentre essas três medidas para c, qual delas é a menor.  Analisando somente as duas últimas, podemos notar que  12√2  <  12√3,  isto porque

√2 ≅ 1,41

√3 ≅ 1,73

Como √2 é menor do que √3, então o produto de 12 por √2 será menor que o produto de 12 por √3.

Eliminamos 12√3, e, finalmente, na última comparação, entre 22 e 12√2, podemos notar que 12√2 < 22.

Podemos concluir o seguinte: uma vez que a opção a ser escolhida é aquela em que a medida dos cabos seja a menor possível, então devemos escolher a opção II, que resulta em uma medida de 12√2 metros para cada um dos cabos a serem instalados.

Alternativa correta é a letra c).

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões anteriores do ENEM.

Um forte abraço e bons estudos.