(ENEM 2023) Visando atrair mais clientes, o gerente de uma loja
anunciou uma promoção em que cada cliente que realizar
uma compra pode ganhar um voucher para ser usado
em sua próxima compra. Para ganhar seu voucher,
o cliente precisa retirar, ao acaso, uma bolinha de dentro
de cada uma das duas urnas A e B disponibilizadas pelo
gerente, nas quais há apenas bolinhas pretas e brancas.
Atualmente, a probabilidade de se escolher, ao acaso,
uma bolinha preta na urna A é igual a 20% e a probabilidade
de se escolher uma bolinha preta na urna B é 25%.
Ganha o voucher o cliente que retirar duas bolinhas pretas,
uma de cada urna.
Com o passar dos dias, o gerente percebeu que, para a
promoção ser viável aos negócios, era preciso alterar
a probabilidade de acerto do cliente sem alterar a regra
da promoção. Para isso, resolveu alterar a quantidade de
bolinhas brancas na urna B de forma que a probabilidade
de um cliente ganhar o voucher passasse a ser menor ou
igual a 1%. Sabe-se que a urna B tem 4 bolinhas pretas e
que, em ambas as urnas, todas as bolinhas têm a mesma
probabilidade de serem retiradas.
Qual é o número mínimo de bolinhas brancas que o
gerente deve adicionar à urna B?
A) 20
B) 60
C) 64
D) 68
E) 80
Solução: questão de matemática do ENEM 2023, prova aplicada no dia 12/11/2023.
Uma questão bem interessante com aplicação prática da probabilidade em contexto empresarial. Para resolver esse problema, vamos definir as seguintes variáveis:
PA é a probabilidade de se escolher, ao acaso, uma bolinha preta na urna A
PB é a probabilidade de se escolher, ao acaso, uma bolinha preta na urna B
A regra da promoção determina que o cliente ganha o voucher se retirar uma bolinha preta da urna A e também retirar uma bolinha preta da urna B, logo, a probabilidade P de um cliente ganhar o voucher é igual a PA x PB.
P = PA x PB
O enunciado nos informa que PA = 20% e PB = 25% inicialmente, mas o valor de PB será alterado. Além disso, o enunciado nos informa que a urna B possui 4 bolinhas pretas. Com as duas últimas informações, vamos calcular quantas bolinhas brancas existem na urna B. Vamos usar a variável x para denotar a quantidade de bolinhas brancas existentes na urna B.
Sabemos que PB vale 25% e é igual a 4/(4+x), ou seja, é a quantidade de bolinhas pretas na urna B dividida pelo total de bolinhas nessa urna. Vamos equacionar isso:
PB = 4
4 + x
25 = 4
100 4 + x
25 . (4 + x) = 100 . 4
4 + x = 4 . 4
x = 16 - 4
x = 12
Podemos concluir que a urna B possui 4 bolinhas pretas e 12 bolinhas brancas, o total de bolinhas é igual a (4 + 12) = 16.
Prova real: a probabilidade de retirar uma bolinha preta é igual a PB = 4 / 16 = 25% ✔
Agora, vamos trabalhar nessa parte do enunciado: "com o passar dos dias, o gerente percebeu que, para a promoção ser viável aos negócios, era preciso alterar a probabilidade de acerto do cliente sem alterar a regra da promoção. Para isso, resolveu alterar a quantidade de bolinhas brancas na urna B de forma que a probabilidade de um cliente ganhar o voucher passasse a ser menor ou igual a 1%. "
O objetivo é tornar PA x PB = 1% ou ainda um valor menor. Vamos trabalhar com o sinal de igualdade, mas lembrando que este valor tem que ser menor ou igual a 1%.
Sabemos que PA = 20% e este é um valor que o gerente não vai alterar. Já o valor de PB, que antes era de 25%, este sim será reduzido. Vamos descobrir o novo valor de PB de modo a atender às demandas da gerência, para isso, vamos resolver a equação a seguir:
PA x PB = 1%
20% x PB = 1%
PB = 1/20
PB = 5%
Podemos notar que PB terá que ser de 5%, ou menos.
O que o gerente vai fazer para reduzir PB de 25% para 5% ou menos?
O enunciado informou que a única medida a ser feita é "alterar a quantidade de bolinhas brancas na urna B".
Agora, nós precisamos calcular o seguinte: quantas bolinhas brancas temos que adicionar na urna B para que PB seja igual a 5%. Vamos denotar por y a quantidade de bolinhas brancas que serão adicionadas à urna B, note que y é uma quantidade positiva.
PB = 4
16 + y
5 . (16 + y) = 100 .4
16 + y = 20 . 4
y = 80 - 16
y = 64
Isto quer dizer que adicionando 64 bolinhas brancas na urna B, a probabilidade de sair uma bolinha preta em uma retirada, ao acaso, será de 5%. Se ele adicionar mais bolinhas brancas do que 64, essa probabilidade será menor, pois quantos mais bolinhas brancas na urna, e mantendo fixa a quantidade bolinhas pretas, então menor a probabilidade de se retirar uma bolinha preta. Ou seja, 64 é o número mínimo de bolinhas brancas que o gerente deve adicionar à urna B.
Alternativa correta é a letra c).
Confira uma prova real bem rápida: a urna B possuía inicialmente 4 bolinhas pretas e 12 bolinhas brancas , totalizando 16 bolinhas. Com a adição de 64 bolinhas brancas nessa urna, ela passa a ter um total de 80 bolinhas, de modo que PB = 4/80 = 5%.
E com isso, a PA x PB é igual a 20% x 5% que dá 1% valor que atende ao objetivo do gerente. Já para conseguir valores menores que 1%, basta adicionar uma quantidade de bolinhas brancas maior que 64 na urna B.
Aproveite e continue praticando com uma lista de questões anteriores do ENEM.
Um forte abraço e bons estudos.
