(ENEM 2024) A criptografia refere-se à construção e análise de protocolos que impedem terceiros de lerem mensagens privadas. Júlio César, imperador romano, utilizava um código para proteger as mensagens enviadas a seus generais. Assim, se a mensagem caísse em mãos inimigas, a informação não poderia ser compreendida. Nesse código, cada letra do alfabeto era substituída pela letra três posições à frente, ou seja, o “A” era substituído pelo “D”, o “B” pelo “E”, o “C” pelo “F”, e assim sucessivamente.

(ENEM 2024) A criptografia refere-se à construção e análise de protocolos que impedem terceiros de lerem mensagens privadas. Júlio César, imperador romano, utilizava um código para proteger as mensagens enviadas a seus generais. Assim, se a mensagem caísse em mãos inimigas, a informação não poderia ser compreendida. Nesse código, cada letra do alfabeto era substituída pela letra três posições à frente, ou seja, o “A” era substituído pelo “D”, o “B” pelo “E”, o “C” pelo “F”, e assim sucessivamente.

Qualquer código que tenha um padrão de substituição de letras como o descrito é considerado uma Cifra de César ou um Código de César. Note que, para decifrar uma Cifra de César, basta descobrir por qual letra o “A” foi substituído, pois isso define todas as demais substituições a serem feitas. 

Uma mensagem, em um alfabeto de 26 letras, foi codificada usando uma Cifra de César. Considere a probabilidade de se descobrir, aleatoriamente, o padrão utilizado nessa codificação, e que uma tentativa frustrada deverá ser eliminada nas tentativas seguintes. 

A probabilidade de se descobrir o padrão dessa Cifra de César apenas na terceira tentativa é dada por

a)   1  +  1  +  1  
     25    25    25

b)   24  +  23  +  1  
       25       24      23

c)   1  ×  1  ×  1  
     25    24    23

d)   24  ×  23  ×  1  
       25       25      25

e)   24  ×  23  ×  1  
       25       24      23

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Solução: questão de matemática do ENEM 2024,  prova aplicada em 10/11/2024.

Para calcular a probabilidade de se descobrir o padrão dessa Cifra de César apenas na terceira tentativa, então precisamos calcular:

Probabilidade de errar a primeira tentativa, e depois, a probabilidade de errar a segunda tentativa, e depois, a probabilidade de acertar a terceira tentativa.  No final, multiplicamos essas três probabilidades.

Vamos calcular cada uma dessas probabilidades por meio da fórmula: 

P(A) = n(A)/n(U)

n(A) = total de casos favoráveis

n(U) = total de casos possíveis

1) Cálculo da probabilidade de errar a primeira tentativa.

Em um alfabeto de 26 letras, o total de casos possíveis é igual a (26-1) = 25.  Perceba que a troca de A por A, não será uma cifra, pois neste caso, teremos o "A" sendo trocado pelo "A", e também o "B" pelo "B", depois o "C" pelo "C", e assim sucessivamente.  Fazendo isso, a mensagem não estará criptografada.

Guardamos a informação de que n(U) = 25.

Neste caso, o total de casos favoráveis é igual a 24, pois das 25 Cifras de César possíveis, somente uma delas foi utilizada para codificar a mensagem.  Logo, n(A) = 24.  Reforçando que neste momento, estamos calculando a probabilidade de errar a primeira tentativa.

Com estes dois valores, calculamos essa probabilidade.

P(A) = n(A)/n(U)

P(A) = 24/25

2) Cálculo da probabilidade de errar a segunda tentativa.

Para este cálculo, n(A) passa a valer (24-1) = 23, e também n(U) passa a valer (25-1) = 24, isto porque de acordo com o enunciado "uma tentativa frustrada deverá ser eliminada nas tentativas seguintes".

P(A) = 23/24

3) Cálculo da probabilidade de acertar a terceira tentativa.

Neste cálculo, o total de casos possíveis passa a ser (24-1) = 23.  Já o total de casos favoráveis é igual a 1, pois somente uma dessas 23 cifras é aquela que foi utilizada para codificar a mensagem. 

P(A) = n(A)/n(U)

P(A) = 1/23 

Finalmente, a probabilidade de se descobrir o padrão dessa Cifra de César apenas na terceira tentativa é dada por

        24  ×   23  ×   1  
        25        24      23

Alternativa correta é a letra (E).

Obs:  o tema criptografia, envolvendo a Cifra de César, já foi abordado em uma questão anterior do ENEM.  Aproveite este momento para praticar ainda mais esse tema:  

(ENEM 2021) A Cifra de César é um exemplo de um método de codificação de mensagens usado por Júlio César para se comunicar com seus generais. (...)

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões anteriores do ENEM.

Um forte abraço e bons estudos.