(EsPCEx 2023) Considere as retas r: -x/2 + 2y - 3 = 0 e s: ax+by+c = 0.  Sabendo que r⊥s e que P(2,2)∈ s, assinale a opção que contém os valores corretos possíveis para a, b e c respectivamente:

a) 4, 1, 10
b) 4, 1, -10
c) -4, -1, -10
d) -4, 1, 10
e) 4, -1, 10

Solução: questão de matemática da EsPCEx (Concurso de Admissão à Escola Preparatória de Cadetes do Exército - 2023). Prova aplicada no dia 17/09/2023.

Para obter a equação de s, vamos utilizar a equação fundamental da reta que passa pelo ponto (xo,yo) e tem coeficiente angular m.

y - yo = m ( x - xo)

Sabemos que a reta s passa pelo ponto (2,2) e vamos inicialmente considerar que seu coeficiente angular vale ms, de modo que 

y - 2 = ms ( x - 2)   [ Equação I]

Precisamos obter ms, o enunciado nos informou que as retas r e s são perpendiculares, de modo que o produto entre seus coeficientes angulares tem que ser igual a -1.

mr . ms = -1

Podemos obter mr na equação da reta r

-x/2 + 2y - 3 = 0
Vamos Isolar y
2y = (x/2) + 3
Vamos dividir os dois membros da igualdade por 2
y = (x/4) + 3/2

Analisando a equação acima, temos que mr = 1/4

E com ele, vamos obter ms 

mr . ms = -1
(1/4) . ms = -1
ms  = - 4

Finalmente, aplicamos este valor na Equação I e teremos a equação da reta s.

y - 2 = -4 ( x - 2)
y - 2 = -4x + 8
4 x + y - 10 = 0

a = 4, b = 1 , c = -10

Alternativa correta é a letra b).

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões anteriores da EsPCEx.

Um forte abraço e bons estudos.