(UNICAMP 2024) Terminado o almoço, Ana foi à cozinha para a escolha das sobremesas. A garota estava decidida a pegar dois itens. Seu pai, preocupado com a alimentação dela, instruiu-a da seguinte forma: "Escolha o que quiser, mas, se você pegar algum pirulito, pegue também alguma fruta". Na cozinha, tinha 5 frutas diferentes, 3 pirulitos diferentes e 2 pedaços de bolos de sabores diferentes. De quantas formas Ana poderia escolher seus dois itens? 

a) 34. b) 36. c) 45. d) 47.

Solução: questão de matemática do Vestibular UNICAMP 2024. Prova aplicada no dia 29/10/2023.

Uma questão bem interessante de análise combinatória.  Ao montar sua sobremesa, Ana precisa adicionar dois itens, dentre os (5+3+2) = 10 disponíveis. Além disso, a ordem das escolhas não importa, por exemplo, se ela escolher a fruta A com a fruta B, será a mesma sobremesa se ela escolher a fruta B com a fruta A.  Podemos perceber que a ordem não importa, então estamos diante de um problema de combinação.

A quantidade de formas diferentes que Ana poderia escolher seus dois itens, sem considerar a restrição imposta por seu pai, é uma combinação de 10 elementos tomados 2 a 2.   Ou seja, caso não existisse a regra estabelecida por ele, Ana poderia formar um total de C10,2 sobremesas distintas.

C10,2 = 10! / [2!(10-2)!]
C10,2 = 10! / (2 . 8!)
C10,2 = (10 . 9) / 2
C10,2 = 90 / 2
C10,2 = 45

Mas como o pai de Ana definiu uma regra, então precisamos eliminar algumas dessas combinações.  O que vamos fazer agora é calcular as sobremesas que ela precisa eliminar dessa lista.

O pai definiu que "se você pegar algum pirulito, pegue também alguma fruta".  Isto quer dizer que precisamos eliminar dois tipos de sobremesas inválidas que foram contadas acima, são elas:

1) Pirulito + Pirulito
2) Pirulito + Bolo

Vamos calculá-las separadamente.

1) Pirulito + Pirulito

Aqui, precisamos calcular a combinação de 3 pirulitos tomados 2 a 2.

C3,2 = 3!/[2! (3-2)!] = 3

Obs1: essas 3 sobremesas são bem tranquilas de serem listadas: P1P2, P1P3 e P2P3.  Considerando P1, P2, P3 os três pirulitos diferentes.

2) Pirulito + Bolo

Temos 3 pirulitos diferentes e 2 pedaços de bolos diferentes, então a quantidade de sobremesas distintas que ela pode formar com eles é de simplesmente 3 x 2 = 6

Obs2: essas 6 sobremesas também são bem tranquilas de serem listadas: 

P1B1
P1B2
P2B1
P2B2
P3B1
P3B2

Considerando P1, P2, P3 os três pirulitos diferentes e B1 e B2 os dois bolos diferentes.

Obs3:  na hora da prova, você não precisa listar essas sobremesas, mas vamos mantê-las a título ilustrativo.

Finalmente, basta calcular o total sem restrições menos as restrições.

45 - 3 - 6
45 - 9
36

Alternativa correta é a letra b).

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões de matemática da UNICAMP.

Um forte abraço e bons estudos.