(FUVEST 2024)  Considere a função f, dada por f(x) = bx , com b > 0 , b ≠ 1 e x ∈ ℝ , e a sua inversa f -1.   A figura destaca dois pontos, um pertencente ao gráfico de f e outro ao gráfico de f -1.  Determine b + k.

gráfico das funções


a) 5/6
b) 1
c) 6/5
d) 13/5
e) 18/5

Solução: questão de matemática da Prova de Conhecimentos Gerais - FUVEST 2024, prova aplicada no dia 19/11/2023.

O enunciado não nos informa qual dos dois gráficos é o da f(x), mas podemos descobrir isso analisando o seguinte:

f(x) = bx

b > 0 e b ≠ 1, isto quer dizer que para qualquer x real que aplicarmos na f(x), os valores retornados para f(x) serão sempre positivos.

Logo, o gráfico da f(x) é aquele que contém o ponto (3, 27/125), pois este é o único gráfico em que os valores de y são sempre positivos.   Obs: podemos notar que este gráfico é decrescente, logo o valor de b está no intervalo 0 < b < 1.

Sabemos também que 

27/125 = 3³/5³ = (3/5)3

Vamos obter o valor de b, usando o ponto (3, 27/125).

f(x) = bx
f(3) = b3 = 27/125 = (3/5)3
b3 = (3/5)3
b = 3/5

Note que o valor de b está no intervalo 0 < b < 1, conforme já nos indicava o gráfico decrescente da f(x).

Agora, precisamos encontrar o valor de k, podemos fazer isso da seguinte forma:  no gráfico da inversa, existe o ponto (9/25, k), logo, no gráfico da f(x), existe o ponto (k, 9/25).  Podemos usar este ponto da f(x) para encontrar k.

f(x) = (3/5)x
f(k) = (3/5)k = 9/25
(3/5)k  = (3²/5²)
(3/5)k  = (3/5)2
k = 2

Finalmente, a soma b + k = (3/5) + 2 = 13/5

Alternativa correta é a letra d).

Também podemos encontrar o valor de k, obtendo a inversa da f(x).

y = (3/5)x

Para encontrarmos a função inversa, vamos trocar y por x e também x por y.

x = (3/5)y

Vamos isolar o y usando a definição de logaritmos.

y = log(3/5) x

Com ela, podemos encontrar k, utilizando o ponto (9/25, k) que pertence ao gráfico de f -1.  

k = log(3/5) (9/25)
k = log(3/5) (3/5)2
k = 2 · log(3/5) (3/5)
k = 2 · 1
k = 2

Curiosidade:  o ponto (3, 27/125) está no gráfico da f(x), então, no gráfico da inversa, temos o ponto (27/125, 3).  Vamos comprovar isso:

y = log(3/5) x

Substituindo x por 27/125 , esperamos encontrar y = 3, vamos ver:

y = log(3/5) (27/125)
y = log(3/5) (3/5)3
y = 3 · log(3/5) (3/5)
y = 3  ✓

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões de matemática da FUVEST.

Um forte abraço e bons estudos.